3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件3.ppt

尝试探索： 尝试探索： * * * * * 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 数学组 曲文瑞 A C D B α 45° α 45° 67 30 x 某城市的电视发射塔建在市郊 的一座小山上.如图所示,小山高 BC约为30米,在地平面上有一 点A,测得A、C两点间距离约为 67米,从A观测电视发射塔的视 角(∠CAD)约为45°.求这座电 视发射塔的高度. A B C D 30 67 45° α 章头图给出的问题 设电视发射塔高ＣＤ＝x米， ∠CAB＝　　 　则 在直角三角形ABD中， 得 于是， 解方程 A B C D 30 67 45° α x 因此,求发射塔的高度只需求 3.1.1 两角差的余弦公式 如何用任意角α,β的正弦、余弦值 　　　　来表示cos(α-β)呢？ 探究 １ 问题1: 你认为cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗? 第一步：探求表示结果 探究 过程 第二步：对结果的正确性加以证明 cos(α－β)究竟可以表示成什么样子？ 猜想： 问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗? 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单位圆的交点为 ， 等于角 与单位圆交点的横坐标，也可以用角 的余弦线来表示． 大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 探究过程： y O x P1 α M O x y 作角 P1 ? ∠P1Ox=α， β P ∠POP1=β， 则∠POx =α-β O x y 作角 P ∠POP1=β， 则 ∠POx =α-β 找线 P1 ∠P1Ox=α， cos(α-β) Cosαcosβ sinαsinβ A PA⊥OP1 B AB⊥x轴 ∠PAB=∠P1Ox=α PC⊥AB C β ? PC OB CosαOA sinαAP BM OB+BM M OM PM⊥OX + + + = O x y P1 P M A B C 即: 以上结果为α、β、α-β均为锐角，且αβ的情况下得到的，此式是否对任意角都成立呢？ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ β ? 思考？ 探究2 对任意α,β，如何证明它的正确性？ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 于是 OA=(cosα,sinα), ②怎样用向量数量积的运算和定义得到结果？ OB=(cosβ,sinβ) ①结合图形，思考应选用哪几个向量？ y O x A B α β 看能否用向量的知识进行证明？ 结合向量的数量积的定义和向量的工具性， 以上推导是否有不严谨之处？若有，请作出补充。 称为差角的余弦公式。 于是，对于任意角α，β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 当α-β为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角?∈[0,2?),使cos?=cos(α-β) 简记为C(α-β) 则OA·OB=cos(2?-?)=cos?=cos(α-β) y y O x A B α β ①若?∈[0,?], ? 则OA·OB=cos?=cos(α-β) 2?-? 则2?-?∈(0,?） ? ②若?∈(?,2?）, α O x B β A cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 观察：公式有何特征？如何记忆？ １.公式的结构特征: 左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和. 2. 差角余弦：符号不同积同名 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 谐音记忆为: 烤烤晒晒符号反 应用 分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？ 解法1: 例1.利用差角余弦公式求cos15°的值. 变式1: 求sin75°的值. 思考? 你还会求哪些非特殊角的余弦呢? cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。 解法2 应用 公式的逆用 cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) 变式2： (1).求 求cos27 cos12 +sin27 sin12 ° ° ° ° 的值. (2).求cosxcos(x+15 ) +sinx sin(x+15 )的值. ° ° (3).求 的值. ° ° 应用 解:由sinα＝ , α∈( ,?),得 5 4 2 ? 分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β), 还应求什么？ 又由cosβ=