3.1二维随机向量的分布(课件).ppt

例 设随机向量 的密度函数为 其它 （1）求k； 解 例 其它 （2）求概率 解 例 求(1) 的联合分布函数; 解 随机向量 解 例 求(2) 随机向量（X，Y） 落入以点 为顶点的正方形 设随机向量 区域的概率. * Ch3 随机向量 例1 描述了任一个人的体形特征. 例2 可确定炮弹的弹着点. 任选一个人, 设X表示其身高， 设任一炮弹弹着点 纵坐标为Y, 为X, Y表示其体重, 的横坐标 例3 设 分别表示 任一钢块的长、宽、高, 描述了任一 钢块的形状. 在概率论中, 如果试验的每个基本结果 都对应三个有序实数 则称为三维随机向量; 一般地, 如果试验的 都对 应一个实数, 则为一维随机变量; 都对应一对有序实数 则称为二维随机向量; 如果试验的每个基本结果 如果试验的每个基本结果 都对应 个 则称为 维随机向量. 有序实数 每一个基本结果 §3.1 随机向量的分布 定义3.1 例如, 则 是三维随机向量. 任一考生的语、数、外 一、随机向量及其分布 是定义在概率空间 维随机向量. 一个人的身高和体重, 是二维随机向量. 设 分别表示 则 设 分别表示 任一钢块的长、宽、高, 设 分别表示 及综合的考试分数, 是四维随机向量. 设 上的n个随机变量， 则称 是 上的一个 定义3.2 称为随机向量 设 是n维随机向量, 语、数、英及综合 的联合分布函数. n元函数 的分布函数. 或 n个随机变量 例如, 任一考生的 设 分别表示 的考试分数, 是四维随机向量. 例如 当 时, 二维随机向量 的分布函数为 定义3.2 称为随机向量 设 是n维随机向量, n元函数 的分布函数. 联合分布函数 具有性质： （1） （2） 关于 均单调不减. 对任意固定的 当 时， 有 对任意固定的 当 时， 有 （3） 关于 均右连续. 即对任意实数 （4） 记 记 记 记 对任意固定的 当 时， 有 证 当 时， ∴ 关于y单调不减. 如果 的分布函数 已知， 则 随机变量 随机变量 称为分布函数 关于X的边缘分布函数. 称为分布函数 关于Y的边缘分布函数. 的分布函数为： 的分布函数为： 二、离散型随机向量 定义3.3 的全部取值 如果二维随机向量 或至多可列个, 为 则随机向量 为有限个 的概率分布 离散型的. 例 任取4个 袋中装有1个红球, 2个白球, 3个黑球. 从中任 和 分别表示4球中 红球及白球的个数. 取4个, 的分布为: Y的分布为: 称为关于Y的 称为关于 的边缘分布. 边缘分布. 任取4个 1. 联合分布 定义3.4 取这些值的概率为 联合分布常用表格表示: 联合分布具有性质: 设 是二维离散型随机向量, 的取值为 联合概率分布. 称上式为随机向量 可能 的概率分布， 或X和Y的 非负性 归一性 2. 边缘分布 的概率分布为: 设 随机变量X的分布为: 记为 记为 随机变量X的分布为: 记为 记为 记为 随机变量X的分布为: 记为 记为 记为 称为关于X的边缘概率分布. 记为 随机变量Y的分布为: 记为 随机变量Y的分布为: 记为 随机变量Y的分布为: 记为 称为关于Y的边缘概率分布. 例 六个乒乓球中 有4个是新球， 第一次取出两个, X，Y分别表示 写出(X,Y)的分布. 解 用完后放回， 第二次再取出两个, 第一次和第二次 取到的新球数目. 2 1 0 2 1 0 关于X和Y的边缘分布: 可统一表示为 2 1 0 2 1 0 求以下概率： 例 把一枚硬币连掷三次， X表示三次中正面出现 的次数， Y表示三次中 出现正面的次数 的次数之差的绝对值， 求(X，Y)的联合概率分布. 解 时, 必有 时, 必有 时, 必有 时, 必有 与出现反面 三、连续型随机向量 1.密度函数 的概率密度函数 定义3.5 设 是二维随机向量, 其分布函数 为 如果存在非负可积的 二元函数 使得对于任意实数对 有 则称(X,Y)为 称为(X，Y)的 或X与Y 的联合密度函数. 简称 密度函数. 记为 二维连续型随机向量 概率密度函数 定义3.5 设 是二维随机向量, 其分布函数 为 如果存在非负可积的 二元函数 使得对于任意实数对 有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量 称为(X，Y)的概率密度函