3.1空间直角坐标系与向量.ppt

注 由勾股定理得 六. 向量的模与方向余弦 1.向量的模 空间两点间距离公式 平面两点间距离公式 空间两点间距离公式 中点的坐标： 中点的坐标： 圆的方程： 球面的方程： 解 原结论成立. 解 设P点坐标为 所求点为 2、向量的方向余弦 非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 称为向量 的方向余弦. 由图示可知 a1 方向余弦的性质 特殊地： 解 解 例 小结 一、向量的线性运算 作业：P101: 4, 6, 8, 11 二、向量的模和方向余弦 三、向量在轴上的投影 需要记住的结论 对应坐标成比例 平行四边形法则 三角形法则 中点的坐标： 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 3.1 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 二、 向量的概念 三、向量的线性运算 四、向量在轴上的投影 五、 线性运算的几何意义 六、向量的模与方向余弦 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 做三条互相垂直的数轴,组成一个 空间直角坐标系. 坐标原点o 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o, 坐标面 卦限(八个) zox面 Ⅰ 一 空间直角坐标系 三条坐标轴符合右手规则 空间的点M 有序数组(x, y, z) 　 特殊点的表示: 坐标轴上的点P, Q , R, 坐标面上的点A, B, C, . 卦限 坐标 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ x ＋ － － ＋ ＋ － － ＋ y ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － z ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － 点的坐标的符号特点 例 在O-xyz坐标系中表示以下三个点：  M1(1, 2, 3), M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3). M1 x y z O 1 2 3 . x y z O 2 -1 M2 x y z O 1 2 -3 M3 3 . . M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3). 二、 向量的概念 向量：既有大小又有方向的量. 以A为起点，B为终点的有向线段. 向量的模：向量的大小. 单位向量：模为1的向量. 零向量：模为 0 的向量. （模又称为长度或范数）. A B 向量的表示： AB ||AB|| a 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量 三、向量的线性运算 1. 向量的分量： 把向量 作平行移动，使其起点与原点重合。 设其终点A的坐标为(a1, a2, a3), 则称a1, a2, a3为向量 的分量或坐标， 记为 =(a1, a2, a3). OA a1 a2 a3 零向量 2. 向量的线性运算 定义 设? =(a1, a2, a3), ? =(b1, b2, b3), ? + ? 称为加法， k ? ? 称为数乘. 加法与数乘统称为线性运算. ? - ? = ? +（-? ） = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3). ? + ? = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), k ? ? =(ka1, ka2, ka3 ). ? = ? a1 =b1, a2 =b2, a3=b3. 3. 线性运算满足的运算规律 (1) ? +? = ? + ? ; (2) (? +?) +? = ? +(? +?); (3) ? + 0 = ? ; (4) ? +(- ?) = 0 ; (5) 1 ? = ? ; (6) k(l ?) = (kl)? ; (7) k(? +?) = k? +k? ; (8) (k+l) ? = k ? +l ? . 例 化简 解 4. 基向量与线性表出 单位向量 称为基向量. =(a1, a2, a3) =(a1, 0,0)+(0, a2, 0)+(0, 0, a3) 称 可由 线性表出。 分向量。 x y z O 四、向量在轴上的投影 1. 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 2. 空间一点在轴上的投影 3. 向量在轴上的投影 过空间点A,B作平面与轴 u垂直， 与轴 u相交于A’, B’,向量 AB 在轴 u 上的投影定义为 AB ||A’B’||, A’B’与u同向 - ||A’B’||, A’B’与u反向 向量在轴上的投影有以下两个性质： u 上的投影等于向量的模乘以