3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(1).ppt

* * * * Bqr6401@126.com 普通高中课程标准 Liangxiangzhongxue 3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 一、复习引入 立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、体，我们利用空间向量来研究立体几何，关键是先要学会利用向量来表示空间内的点与直线。进而利用空间向量研究空间的点、线、面的位置关系。 在平面向量的学习中，我们得知 ① M、A、B三点共线 ② A、B是直线l上任意两点。O是l外一点. 动点P在l的充要条件是 上述式子称作直线l的向量参数方程式，实 数t叫参数。 复习旧知 已知向量a，在空间固定一个基点，再作向量 ，则点A在空间的位置就被向量a所惟一确定了，这时，我们称这个向量为位置向量。 位置向量定义： 给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量 ① 这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使 向量方程①通常称作直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量. a l A P 直线的方向向量与直线的向量方程 注: ⑴ 向量方程两要素:定点A,方向向量 ⑵ t为参数,且t是实数, 问:t=0时? 直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式 ② 如果在l上取 则②式可化为 即 ③ ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程. A a O M B P l ta 注: ⑴当t= 时, .此时P是线段AB的中 点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中 有共同的起点. ⑶ ③中 的系数之和为1. 例1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: ⑴AP:PB=1:2 ⑵AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标. A Q B P y z x l O 例1 例2 已知空间中四点M,A,B,C,满足 , x,y是实数,且x+y=1. 求证:A,B,C三点共线 证明: 课堂练习 例3 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定