3.2.5向量方法求角度复习题.ppt

* ---线面角 二面角 ? 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. B A ? a ?AOB（记为?）是a与?所成的角 O 规定：直线和平面垂直：所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，?=00 00???900 直线和平面成角 斜线和平面成角 0°???90° 一、直线和平面所成的角的定义 O B A 这就是线面角的向量计算公式. 即 直线和平面所成的角的向量计算公式 = 例1.在正方体AC1中，E是CD的中点，求A1E与平面BCC1B1所成的角的正弦值. A B C D A1 B1 C1 D1 E X Y Z 解：如图在正方体AC1中建立空间直角坐标系， 不妨设正方体AC1 的棱长为2， 则E(0,1,0), A1(2,0,2) 易知，平面BCC1B1的一个法向量为 设A1E与平面BCC1B1所成的角为θ1 直线和平面所成的角的向量计算示例 A B D A1 B1 D1 M X Z C Y C1 P 2 2 2 3 A B C D E F P l D C B A 二、二面角： ①方向向量法： 二面角的范围： l l ②法向量法 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 设平面 例： 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B－AS－O的余弦值. O A B C S x y z 练习： O A B C S x y z 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的 角的余弦值; O A B C S x y z 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ; 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 O A B C S x y z 所以二面角B－AS－O的余弦值为 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(3)二面角B－AS－O的余弦值. 练习3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. (1)证明：PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. A B C D P E G x y z A B C D P E G x y z (1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点 (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 A B C D P E G x y z 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 练习5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小. A B C D P E F * * * 例2 例2答案 * 例2 思考题.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A-PB-C的余弦值. 分析: 若用几何法本题不太好处理,注意到适当建立空间直角坐标系后各点坐标容易处理,可考虑尝试用向量法处理,从而把问题转化为向量运算问题. 解:建立坐标系如图, 则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), =(0,0,1),, 设平面PAB的法向量为=(x,y,z), 解:建立坐标系如图, 则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 思考题.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A-PB-C的余弦值. =(0,0,1),, ∴∴,令x=1,则=(1,, 设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则 设平面PBC的法向量为, ∴令 ∴cos,∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为 则 作业：如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二