3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式.ppt

* 要点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:______________________. (2)商数关系: . (3)倒数关系: . §3.2 同角三角函数的基本关 系及诱导公式 基础知识 自主学习 sin2α+cos2α=1(α∈R) 2.六组诱导公式 函数名改变 符号看象限 函数名不变 符号看象限 口诀 _______ _______ _______ _______ 正切 _______ ______ _______ _______ _______ _______ 余弦 _______ ______ _______ _______ _______ ________ 正弦 π-α -α π+α 2kπ+α (k∈Z) 角 六 五 四 三 二 一 组数 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α tan α -tan α -tan α 基础自测 1. 的值是_____. 解析 2.已知α为第二象限角,且sin α= 则tan α=___. 解析 ∵α为第二象限角且sin α= 3.若 则 =____. 解析 可得tan θ =3, 4.已知tan α= 且α∈ 则sin α= ______. 解析 ∵α∈ ∴sin α0. 【例1】已知 (1)化简f(α); (2)若α是第三象限角,且 求f(α) 的值. 必然利用到诱导公式,可以根据需要从中选 取,注意先变符号比较好,负化正,大化小，化到锐 角为终了. 典型例题 深度剖析 分析 解 跟踪练习1 化简 解 【例2】(2010·无锡模拟)已知tan α=2,求下列各式的值: (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. tan α=2,即 ∴sin α=2cos α. 结合sin2α+cos2α=1,可求sin α、cos α，代入 即可,但此法运算复杂,关键在于能否同除某式出现 tan α形式. 分析 解 跟踪练习2 已知sin(θ +kπ)=-2cos(θ +kπ),k∈Z, 解 由已知得cos(θ +kπ)≠0,k∈Z, ∴tan(θ +kπ)=-2,k∈Z,即tan θ =-2. 【例3】已知 x0,sin x+cos x= (1)求sin x-cos x的值; (2)求 的值. (1)由sin x+cos x= 及sin2x+cos2x=1可求 出sin x、cos x的值,从而求出sin x-cos x的值; 另外,由 x0,可求出sin x0,cos x0,从而判 定sin x-cos x的符号,只需求(sin x-cos x)2即可. (2)由(1)可求出tan x，而 想法使分子分母都出现tan x即可. 分析 解 (1)∵sin x+cos x= ∴(sin x+cos x)2= 即1+2sin xcos x= ∴2sin xcos x= ∵(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x =1-2sin xcos x= ① 又∵ x0,∴sin x0,cos x0, ∴sin x-cos x0 ② 由①②可知:sin x-cos x= 跟踪练习3 已知sin θ +cos θ = θ ∈(0,π).求值: (1)tan θ ;(2)sin θ -cos θ ;(3)sin3θ +cos3θ . 解 方法一 ∵sin θ +cos θ = θ ∈(0,π), ∴(sin θ +cos θ )2= =1+2sin θ cos θ , ∴sin θ cos θ = 由根与系数的关系知, sin θ ,cos θ 是方程 的两根,