3.2向量与向量的线性组合.ppt

把列(行)向量写成行(列)向量可用转置记号, 例 作业 习题3 P159 4. 6.(1) 7. * * §3.2 向量与向量的线性组合 一、向量及线性运算 定义1 n个有次序的数a1, a2,…, an所组成的数组称为 n维向量，这n个数称为该向量的分量，第i个 数ai称为第i个分量. n维行向量 记号：常用字母α,β, a, b…等表示向量 n维列向量 可写成 =(b1,b2,?,bn)T 向量组：若干同维数的列向量（行向量）所组成的集合. 例如，一个m×n矩阵 A的每一列 组成的向量组 称为矩阵A的列向量组；而由A的每一行 组成的向量组 称为矩阵A的行向量组. 注：一个向量组可包含无限多个向量.如，线性方程组 当r(A)n时的全部解组成的n维向量组. 定义2 两个n维向量 与 的各对应 分量之和组成的向量，称为向量α与β的和，记为 α ＋β，即 负向量： 向量的减法： 定义3 n维向量 的各个分量都乘以数k所组成 向量称为数k与向量α的乘积（简称数乘），记为ka 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的运算与矩阵的运算相同. 向量的线性运算与矩阵的运算规律相同，亦满足下面 八条运算规律： 定义4 n维向量的全体所组成的集合 称为实n维向量空间. 例1 二、向量组的线性组合 考察线性方程组 令 则方程组可表示为如下向量形式： 于是，方程组是否有解，就相当于是否存在一组数 k1,k2,…,kn使得下列线性关系式成立： 称为这个线性组合 定义1 给定向量组 ，对于任何一组实数 ，表达式 称为向量 组A的一个线性组合， 的系数. ，若存在一组数 定义2 给定向量组 和向量 ，使 则称 是向量组A的线性组合，或称 能由向量组 A线性表示（或线性表出）. 易得： 能否由 线性表出，这个线性表出是否 唯一，和线性方程组 是否 有解，解是不是唯一相当. 定理3 设向量 则向量 能由 线性表出的充要条件是 矩阵 与矩阵 的秩相等. 证明：线性方程组 有解的充要条件是：其系数矩阵与增广矩阵的秩相等. 即：r(A)=r(?). 对于行向量有相同结论：设向量 j=1,2…n,向量 可由向量组 线性表示的充要条件 为： ①　若α＝kβ，则称向量α与β成比例． ②　零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． 事实上，有 ③　向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． ⑤　向量β可由 线性表示， 即方程组 有解. ④　任一ｎ维向量 都是单位向量组 的一个线性组合． 例 判断向量 与 是否各为 向量组 的线性组合.若是， 写出其表达式. 向量组 中任一向量 均为此向量组的线性组合 三、向量组间的线性表示 定义 设有两向量组 若向量B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则 称向量组B能由向量组A线性表示. 若向量组A与向量 组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 若向量组B能由向量组A线性表示，则存在 使得下式成立： 故 线性表示的系数矩阵 即：设有向量组 若向量组B能由向量组A线性表示的充分必要 条件为存在 s行t列矩阵P使得 定理 若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由 向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示. 向量组等价的性质： (1)自反性 任一向量与自身等价. (2)对称性 若向量组(A)与(B)等价，则向量组(B)与(A)等价. (3)传递性 若向量组(A)与(B)等价，向量组(B)与(C)等价， 则向量组(A)与(C)等价. 例 设向量组 试判断三个向量组是否等价 . * * *