3.2立体几何中的向量方法-夹角问题.ppt

* * 空间“角度”问题(1) * 空间“距离”问题 1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题 【温故知新】 2、向量法求点到平面的距离： a b C D A B CD为a,b的公垂线 则 A，B分别在直线a,b上 已知a,b是异面直线，n为a的法向量 3. 异面直线间的距离 即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长， (课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. B A C D A P D C B M N z x y 解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，则 D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ) 1.异面直线所成角 l m 若两直线 所成的角为 , 则 复习引入 1.两条异面直线所成的角 (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角 为 ,则有 空间三种角的向量求解方法 (4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. (1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a ∥a, b ∥b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. (2)范围: 2. 线面角 设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则 而利用 可求 ， 从而再求出 或 或 2.直线与平面所成的角 (1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围: (3)向量求法:设直线l的方向向量为 ,平面 的法 向量为 ,直线与平面所成的角为 , 与 的夹角为 ,则有 l 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 其中AB 3、二面角 D C B A ①方向向量法： 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ＝〈 〉 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 l 3、二面角 若二面角 的大小为 , 则 ②法向量法 (3)二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角(如图(1)) ②设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2)) B D C A (1) (2) (2)范围: 3.二面角 (1)定义:从二面角棱上任取一点O，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则称 为二面角的平面角。 例1、如图，点M、N分别是正方体 的棱 和 的中点，求： (1)MN和 所成的角的大小. (2) MN和AD与所成的角的大小. 【典例剖析】 [ 例 2] (2013· 新课标 Ⅰ 理， 18) 如图，三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， CA ＝ CB ， AB ＝ AA 1 ， ∠ BAA 1 ＝ 60°. (1) 证明： AB ⊥ A 1 C ； (2)若平面 平面 ， ，求直线