3.2立体几何中的向量方法-空间中的距离问题.ppt

* * * * 空间“距离”问题 * 【温故知新】 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. l A 注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 向量法求法向量的步骤： 外积法求法向量的步骤： ) , , ( ), , , ( ) 1 ( 2 2 2 1 1 1 z y x b z y x a = = 向量的坐标 两个不共线的 找出（求出）平面内的 ) 2 ( 利用行列式求解 (3) ? n 就是平面的一个法向量 = ? n , 2 1 z z cb ad d b - = 2013年全国新课标Ⅰ卷 18题 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 【新知学习】 空间“距离”问题 1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题 例1：如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解：如图1，设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 思考：教材P106 （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? A1 B1 C1 D1 A B C D 分析: 分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离 点面距离 解： ∴ 所求的距离是 问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？ 2、向量法求点到平面的距离： D A B C G F E x y z 分析:用几何法做相当困难, 注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出. 例2: 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. E 当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理” =π-θ（或θ），