3.2立体几何中的向量方法1.ppt

* * 空间“角度”问题 1. 直线与直线所成角 l m l m 若两直线 所成的角为 , 则 复习引入 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 L 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ＝〈 〉 2、二面角 若二面角 的大小为 , 则 ②法向量法 3. 线面角 l 设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则 二.向量法求距离 （1）点到平面距离的向量公式 （2）线面、面面距离的向量公式 d= （3）异面直线的距离的向量公式 求空间中点到直线的距离 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a， E是BB1的中点，则E到AD1的距离是( ) A a B a C a D a 解析：连结D1E、AE，过E作EH⊥AD1于H， 在△AD1E中易求EH= a. D 求点到平面的距离 已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2， 点E为CC1中点，点F为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的 公垂线； （2）求点 D1到面BDE的距离. 思路分析：第一问即是证明两组线线垂直， 第二问可考虑等体积法。 [解答]（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM， ∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM= D1D 又EC= CC1，且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1 面DBD1，∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线. （II）解：连结ED1，有 ，由（I） 知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DBD1·EF.， ∵AA1=2·AB=1. 故点D1到平面BDE的距离为 点评与感悟：等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般 是找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后，三棱锥自身体积 相等的特性进行求解。使用等体积法的前提是几何体的体积一 定可以通过题设算得。 求异面直线间的距离 如图所示，已知四边形ABCD、 EADM都是边长为a的正方形， 点P、Q分别是ED与AC的中点， 求：（1）PM与FQ所成的角； （2）P点到平面EFB的距离； （3）异面直线PM与FQ的距离 解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、 A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、 M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a）， 则由中点坐标公式得 P（ ，0， ）、 Q（ ， ，0）. （1）∴ =（－a/2，0，a/2）， =（a/2，－a/2，－a）， =（－a/2）×a/2+0+a/2×（－a）=－3/4a2， 且 = a， = a. ∴cos〈 ， 〉= = =－ 故得两向量所成的角为150°. （2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1， n⊥平面EFB，∴n⊥ n⊥ 又 =（－a，a，0）， =（0，a，－a），即有 得其中的一组解 n=（ , , ），=（ a/2 ，0，a/2）. 设所求距离为d，则d=| ·n|= a （3）设e=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位 方向向量，则由 =(-a/2,0,a/2). =(a/2,a/2,-a) ，得 求得其中的一个