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3.3多维随机变量函数的分布.ppt

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§3.2 边际分布与随机变量的独立性 提出问题: 一、边际(缘)分布函数 例3.2.1 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际密度函数 注 意 点 (1) 由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息. 注 意 点 (2) 二维正态分布的边际分布是一维正态: 若 (X, Y) ? N ( ?1, ?2 ,?12, ?22 , ? ), 1.二维随机变量的相互独立性 说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 例3.2.7 解 因为 解 记这两个数为X和Y,则X和Y都服从(0,1)上的均匀分布 例3.2.8 从(0,1)中任取两个数,求下列事件的概率: (1) 两数之和小于1.2 (2) 两数之积小于1/4 由于X和Y相互独立,其联合密度函数为 (1) (2) (X, Y) 的联合分布列为: X 0 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 问 X与Y 是否独立? 解: 边际分布列分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 因为 所以不独立 例3.2.9 已知 (X, Y) 的联合密度为 问 X 与Y 是否独立? 所以X 与Y 独立。 注意:p(x, y) 可分离变量. 解: 边际分布密度分别为: 例3.2.10 一、多维随机变量及其联合分布 二、边际分布与随机变量的独立性 三、多维随机变量函数的分布 四、多维随机变量的特征数 第三章 多维随机变量及其分布 五、条件分布与条件期望 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际密度函数 一、边际分布函数 四、随机变量间的独立性 上面研究了二维联合分布,是二维随机变量的整体性质,从中还要解决如下三个个体问题: ①关于每个分量的分布,即边际分布. ②两个分量之间的关系、关联程度,即独立性、 协方差和相关系数. ③给定一个分量时,另一个分量的分布,即条件分布. 边缘分布的几何意义 FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率; FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。 O x x O x y y y 同样有 因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函数分别为 例3.2.2 已知下列分布律求其边缘分布律. 解 注意 联合分布 边缘分布 同理, 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数 关于Y 的边际概率密度. 解 例3.2.3 例3.2.4 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为 试求: (1)边际密度函数pX(x)和pY(y); (2)P(X1/2) 及P(Y1/2). 多项分布的一维边际分布仍是二项分布. 仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明. 解 例3.2.5 例3.2.6 解 由于 于是 则有 即 同理可得 二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布, 则 X ? N (?1, ?12), Y ? N (?2 , ?22 ). 二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布. 例设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 1} 上的均匀分布,求关于X 、Y的边际概率密度. 解 由题意得 x y 当|x|1时,p(x, y)=0,所以 pX(x)=0 当|x|≤1时, -1 1 注意:它不是均匀分布 即 它也不是均匀分布 定义 四、随机变量间的独立性

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