3.3实对称矩阵的特征值和特征向量.ppt

第三章 §3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵对角化方法 向量的内积 正交矩阵 一、向量的内积 1.Def.: 设 ? = (a1 , a2 , … , an)T , ? = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn 中的两个列向量，则 称为向量 ? 与 ? 的内积. 内积?T? 也可记作(?, ? ) 一、向量的内积 1. Def.: 设 ? = (a1 , a2 , … , an)T , ? = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn 中的两个列向量，则 2. 内积的性质 (1) (? , ? ) = (? , ? ) ; (2) (k? , ? )= k(? , ? ); (3) (? + ? , ? )= (?, ? )+ (? , ? ); (4) (? ,? )? 0 , 且(? ,?)= 0 ? ? = 0 . 其中? , ? , ? 为 Rn 中的任意列向量，k ? R . 称为向量 ? 与 ? 的内积. 内积?T? 也可记作(?, ? ) 3.Def.: 设 ? = (a1 , a2 , … , an)T ? Rn ，称 为向量 ? 的长度(或模)，记作 || ? || . 即 如果 || ? || = 1，则称 ? 为单位向量. 4. 长度的性质 (1) || ? || ? 0 , 且 || ? || = 0 ? ? = 0 ; (2) || k? || = | k | · || ? || ; (3) |(? , ? )| ? || ? || · || ? || , 且 |(? , ? ) | = || ? || · || ? || ? ? , ? 线性相关. ? ? ? 0 ，则 为单位向量或标准化向量. 5.Def.: 设? , ? ? Rn , 如果 ?T? = 0, 则称向量 ? , ? 正交. 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 向量) ?1 , ?2 , … , ?s (s ? 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 为一个正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 该向量组为正交单位向量组. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: ?T ? = || ? || · || ? || cos ? 7.Th.: 设 ?1 , ?2 , … , ?s 是一个正交向量组, 则?1,?2 , …,?s 线性无关. 由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组. 8. 施密特(Schmidt) 正交化方法 设 ?1 ,?2 ,…, ?s ( s ? 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 则 ?1 , ?2 , … , ?s 是一个正交向量组, 且 { ?1 , ?2 , … , ?s } ? { ?1 , ?2 , … , ?s } 8. 施密特(Schmidt) 正交化方法 设 ?1 ,?2 ,…, ?s ( s ? 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 例1 求与向量组 ?1 = (1, 1, 1)T ,?2 = (1, -2, -3)T ,?3 = (1, 2, 2)T 等价的一个正交单位向量组. 例2 已知 求 ?3 使之与?1 , ?2 都正交. 二、正交矩阵 1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 ATA = E (或AAT = E ) 则称 A 为一个 n 阶正交矩阵. 2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ? A 可逆. ? A-1= AT 3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ? A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组. 二、正交矩阵 1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 ATA = E (或AAT = E ) 则称 A 为一个 n 阶正交矩阵. 2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ? A 可逆 ? A-1= AT 3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ? A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组. 4. 正交矩阵的性质 (1) 若 A 是正交矩阵，则 A-1 也是正交矩阵; (2) 若 A , B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵. (3) 若 A 是正交矩阵，则 detA