3.3数学期望的定理.ppt

第三章 随机变量的数字特征 §3.3 关于数学期望的定理 [定理1] 常量的数学期望等于这个常量： 其中 是常量. 证： 常量 可以看作这样一个随机变量， 取得一个值 显然， 它取得这个值的概率等于 . 所以 它只可能 证： 对于离散随机变量 ， 我们有 对于连续随机变量 我们有 常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个 常量与随机变量的数学期望的乘积： [定理2] 两个随机变量的和的数学期望等于它们的　 数学期望的和： 证： 对于离散随机变量， [定理3] 对于连续随机变量， 有限个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和: [定理4] 注意： 由定理2,定理3可得 （1） 其中 为实数. （2） 利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个 随机变量的情形: [例1] 一台设备由三大部件构成， 在运行中各个部件 需要调整的概率分别为 设 表示 同时需要调整的部件数. 求 的数学期望 分析: 易知 为离散随机变量， 其可能取的值为 但由于不知各部件的运行状态是否相互独立， 但可将 分解成 一些随机变量的和， 定理3来计算数学期望 . 无法求 的概率分布. 利用 解： 设随机变量 则 同理 由数学期望的性质得 而 两个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们数学期望的乘积： 证： 因为 与 独立， 所以对于离散随机变量， 对于连续随机变量类似可证. [定理5] 利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个 独立随机变量的情形： 有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们的数学期望的乘积： [定理6]