3.3随机向量的函数的分布与数学期望.ppt

§3?3 随机向量的函数的分布与数学期望 一、离散型随机向量的函数的分布 二、连续型随机向量的函数的分布 三、随机向量的函数的数学期望 四、数学期望的进一步性质 一、离散型随机向量的函数的分布 设(X? Y)是二维离散型随机向量? g(x? y)是一个二元函数? 则g(X? Y)作为(X? Y)的函数是一个随机变量? 如果(X? Y)的概率分布为 P{X?xi? Y?yj}?pij? i? j?1?2? ??? ? 记zk(k?1? 2? ??? )为Z?g(X? Y)的所有可能取值? 则Z的概率分布为 P{Z?zk}?P{g(X? Y)?zk} 例3?12(1) 已知(X? Y)的概率分布? 求??X?Y的概率分布? ??X?Y的可能取值有? ?1? 0? 1? 2? 3? 4? ?的概率分布为? 解 P{???1}?P{X?Y??1} ?P{X?0? Y??1} ?0?1? P{??0}?P{X?Y?0} ?P{X?0? Y?0}?P{X?1? Y??1} ?0?5? P{??1}?P{X?Y?1} ?0?2? ?P{X?1? Y?0}?P{X?2? Y??1} P{??2}?P{X?Y?2} ?P{X?0? Y?2}?P{X?2? Y?0} ?0? P{??3}?P{X?Y?3} ?P{X?1? Y?2} ?0?1? P{??4}?P{X?Y?4} ?P{X?2? Y?2} ?0?1? 例3?12(2) 已知(X? Y)的概率分布? 求??XY的概率分布? ??XY的可能取值有? ?2? ?1? 0? 4? ?的概率分布为? 解 P{???2} ?P{X?2? Y??1} ?0?15? P{???1} ?P{X?1? Y??1} ?0?3? P{??0} ?P{X?0? Y??1}?P{X?0? Y?0}?P{X?0? Y?2} ?P{X?1? Y?0}?P{X?2? Y?0} ?0?35? P{??2} ?P{X?1? Y?2} ?0?1? P{??4} ?P{X?2? Y?2} ?0?1? P{??k}?P{X?Y?k} 例3?13 设X? Y是两个相互独立的随机变量? 分别服从参数为?1和?2的泊松分布? 求??X?Y的分布? 解 可见??X?Y服从参数为?1??2的泊松分布? 二、连续型随机向量的函数的分布 设(X? Y)是二维连续型随机向量? 其概率密度函数为f(x? y)? 令g(x? y)为一个二元函数? 则Z?g(X? Y)的分布函数为 FZ(z)?P{Z?z} ?P{g(X? Y)?z} ?P{(X? Y)?Dz} 其中Dz?{(x? y)|g(x? y)? z}? 继而? 其密度函数fZ(z)? 对几乎所有的 z? 有 Z(z)? (3?37) fZ(z)?F ? 例3?14(随机变量的和) 设(X? Y)的联合密度函数为f(x? y)? 求X?Y的密度函数? 对任意z? 令Dz?{(x? y)| x?y?z}? 则 解 FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z} 例3?14(随机变量的和) 设(X? Y)的联合密度函数为f(x? y)? 求X?Y的密度函数? 对任意z? 令Dz?{(x? y)| x?y?z}? 则 解 FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z} 于是? 有 易见? 交换积分次序? 我们亦可得到 特别地? 如果X与Y是相互独立的随机变量? 则 独立正态随机变量之和的分布 则其任意非零线性组合仍服从正态分布? 且 其中a? b不全为0? 这一结论还可以推广到n个随机变量的情形? 三、随机向量的函数的数学期望 设随机向量(X? Y)的函数Z?g(X? Y)的数学期望存在? (1)设(X? Y)是二维离