3.43.5向量组的极大无关组与向量空间.ppt

第3.4节 向量组的极大 线性无关组 第3.5节 向量空间 四、思考练习题 解答 例2: 判别下列集合是否为向量空间. 解： 所以， 是向量空间。 (2) 不是向量空间。 是否为向量空间. （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间） 一般地，由向量组 所生成的向量空间为 例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 解： 所以V 是一个向量空间。 二、 向量空间的基与维数 且满足: 线性无关。 （1） （2）V中任一向量都可由 线性表示，那么, 就称向量组 是向量空间V的一个基，r称为 为向量空间V的维数, 记作dimV＝r并称V是r维向量空间。 注（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。 （2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一。 定义2：设V是向量空间，如果r个向量 例4 解： * * * 主要内容: 一．等价向量组 二．向量组的极大线性无关组 三．向量组的秩与矩阵秩的关系 一、等价向量组 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称向量 组A与向量组B等价。 即 表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 定义1： 如果向量组 中的每一个向量 都可以由向量组 线性 等价向量组的基本性质: 定理： 设 与 是两个向量组，如果: (2) 则向量组 必线性相关。 推论1： 如果向量组 可以由向量组 线性表示，并且 线性无关，那么 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 (1) 向量组 线性表示； 可以由向量组 二、向量组的极大线性无关组 定义2: 注: （1） 只含零向量的向量组没有极大无关组(零向量线性相关)。 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： 线性无关。 （1） 那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示。 （2）向量组A中每一个向量均可有 线性表示。 例如：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩, 记作 例如： 向量组 的 秩为2。 1. 向量组的秩 （4）等价的向量组必有相同的秩。 关于向量组的秩的结论： （1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 线性无关 向量组 线性相关 （3）如果向量组 可以由向量组 线性表示，则 注： 两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相 同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向 量组等价。 2. 矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这 些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可 被认为由这些列向量组成。 定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向 量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 的行向量组是 可以证明， 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 即 可知 即 线性无关； 而 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 线性相关。 所以向量组 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是 可以验证 线性无关， 而 所以向量组 的一个极大无关组是 所以向量组 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3