3.4二维随机变量函数分布和复习.ppt

第五节 随机变量函数的分布习题课 一、离散型随机变量 二、连续性随机变量 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 一、离散型分布的情形 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 此即离散 卷积公式 r=0,1,2, … 解：依题意 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… 由卷积公式 即Z服从参数为 的泊松分布. r=0,1，… 例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 不需要计算的另一种证法: Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p). 例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 二、连续型分布的情形 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示: 也即 于是 用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立, 结论又如何呢? 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2). 教材P91页例3.5.2请自已看. 注意此例的结论： 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 更一般地, 可以证明: 正态分布的可加性 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数. 又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为: 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有 分析： P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是 下面进行推广 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1-P(Nz) =1- P(Xz)P(Yz) 设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量, (i =0,1，…, n) 它们的分布函数分别为 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: … N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 … 特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n 与二维情形类似，可得: 需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值. 解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n) =P(X1=n, X2≤n)+P( X2 =n, X1 n) 记1-p=q 例6 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, … ( i =