3.4二维随机变量函数的分布.ppt

第四讲 二维随机变量的函数的分布 随机变量 Z 是随机变量 X与Y的函数 Z = g ( X ，Y ) 其中， g ( u ，v) 是u 和v的连续函数 3. 关于正态变量的一般性结论如下: 有限个相互独立的正态变量之和仍然是正态量. 换言之, 如果相互独立的随机变量 Xi ~ N( μi ,σi2 ), i =1,2,…, n 那么, 其任意的线性组合量 Z = b 1 X1+ b 2 X2+…+ b n Xn 也是正态量，并且有 * * 设有两个部件 、 其工作寿命分别为 部件 坏了,换上备用部件 继续工作 部件 、 并联同时工作,仅当两个部件都损坏时，整个系统才失效 部件 、 串联同时工作,只要有一个部件损坏，整个系统就失效 怎样确定上述各系统的寿命 引言 在本节中， 我们重点讨论两种特殊的函数关系： (a) (b) 和 其中 与 相互独立. ⑴　 Z = X＋Y 的分布 ⑵ max( X，Y ) 与 min( X，Y )的分布 例1 一、 Z = X＋Y 的分布 概率 解 等价于 概率 例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 可得 所以 例3 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一 分布律，且 X 的分布律为 于是 解 例1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为f ( x，y ) . 证明： Z = X＋Y 的概率密度可由如下两公式中的 任一公式加以计算: 或 证 显然，Z 的分布函数 x y 0 x + y = z 和分布 证 显然，Z 的分布函数 x y 0 x + y = z 和分布 例1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为f ( x，y ) . 证明： Z = X＋Y 的概率密度可由如下两公式中的 任一公式加以计算: 或 同理，∵ Z 的分布函数 x y 0 x + y = z 和分布 例1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为f ( x，y ) . 证明： Z = X＋Y 的概率密度可由如下两公式中的 任一公式加以计算: 或 特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度. 卷积公式 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例2 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式 也即 暂时固定 故 当 或 时 , 当 时 , 当 时 , 于是 例3 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为 和 求随机变量Z=X+Y 的概率密度. 解 由于X与Y相互独立，所以 当z≥0时, 当z0时,FZ(z)=0. 于是 例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 由卷积公式 令 得 可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2). 用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立, 结论又如何呢? 此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,结论: 若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2). 和分布 如果随机变量 X 和Y 相互独立，分布函数依次为FX ( x ) 和FY ( y ) ，则 M = max ( X，Y ) 与 N = min( X，Y )的分布函数依次为 二、　 M = max ( X，Y ) 与 N = min( X，Y )的分布 [最大与最小值分布] 最值分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数. FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为: =P(X≤z)P(Y≤z) FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函数 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1-P(