3.多维随机变量的分布.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 到目前为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 飞机的重心在空中的位置是 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述. 如: 在打靶时, 命中点的位置是 由一对随机变量(两个坐标)来确定的. 由三个随机变量(三个坐标）来 确定的等等. 因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量. 其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维 复杂; 学习时应注意与一维情形的对照. 设 Ω 为试验 E 的样本空间, 若对 Ω 中 的任一基本事件 e , 都有惟一确定的 n 个实数 X1(e) , … , Xn(e)与之对应, 则叫 (X1(e) , … , Xn(e)) 由于从二维推广到多维一般没有实质性的困难, 定义: 为 n 维随机变量, 简记为 (X1 , … , Xn ). 我们重点讨论二维随机变量 . 二维随机变量一般用 ( X, Y ) 来表示 . §1 二维随机变量的联合分布与边缘分布 一、X与 Y 的联合分布函数及边缘分布函数 二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数为 也叫 X与 Y 的联合分布函数. 几何表示: F (x, y) 为随机点 (X, Y ) y x 0 .(x, y) . (X, Y ) 落在 xoy 面中区域 内的概率. X 的分布函数 ( X, Y ) 的分布函数具有: 等性质. 在二维随机变量( X , Y ) 中, X 的分布函数称为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数, Y 的分布函数称为( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布函数; 由联合分布函数可确定边缘分布函数, 对此有: 关于 X 的边缘分布函数为 关于 Y 的边缘分布函数为 进一步可定义 n 维随机变量 (X1 , … , Xn )的分布函数: 及关于 Xi ( i = 1, … , n ) 的边缘分布函数: 二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律 设 ( X, Y ）为二维离散型随机变量，称 为 ( X, Y ) 的分布律，或 X与 Y 的联合分布律. X 的分布律 ( X, Y ) 的分布律的性质: 可列表表示: (1) 非负性 (2) 归一性 X Y x1 x2 … xi … y1 yj ┇ ┇ p11 p21 … pi 1 … p1 j p2 j … pi j … ┇ ┇ ┇ … … ┇ ┇ ┇ … … 在二维离散型随机变量( X , Y ) 中, 称 X 的分布律为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律, Y 的分布律为( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布律; 由联合分布律可确定边缘分布律, 对此有: 关于 X 的边缘分布律为 关于 Y 的边缘分布律为 ( X, Y ) 的分布律 注意两个边缘分布 正好是表中列和与行和 P{Y= yj} ┇ ┇ P{X= xi} … … 1 X Y x1 x2 … xi … y1 yj ┇ ┇ p11 p21 … pi 1 … p1 j p2 j … pi j … ┇ ┇ ┇ … … ┇ ┇ ┇ … … 三、二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度 对二维连续型随机变量( X, Y )有: f (x, y) 称为 ( X, Y ) 的概率密度, 即: 随机点 (X, Y ) 落在区域 内的概率 X 的概率密度 fX (x) 为 f (x, y)在该区域上的积分. y x 0 .(x, y) . (X, Y ) 或称为 X与Y 的联合概率密度. f (x, y) 为 ( X, Y ) 的概率密度, 则 (1)非负性 (2)归一性 概率密度的性质: (3)对 xoy 面上的任一区域 G, (4)在 f (x, y) 的连续点上, 在二维连续型随机变量( X , Y ) 中, X 的概率密度称为( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度, Y 的概率密度称为( X , Y ) 关于 Y 的边缘概率密度; 由联合概率密度可确定边缘概率密度, 对此有: 关于 X 的边缘概率密度为 关于 Y 的边缘概率密度为 因为 解: 例: 设 (X, Y) 的分布函数为： 试求(1) a 、 b、c , (2) (X,Y) 的概率密度. (1) 依据分布函数的性质可得: (2) 故 解: (1) 由归一性可得: 故