33两个随机变量函数的分布.ppt

§3.3 二维随机变量函数的分布 例 4. 作业： 80页 18 《概率统计》 下页 结束 返回 一、离散型 二、连续型（和的分布） 下页 例1．已知(X,Y) 的联合分布律, -1, 0, 2, 3, 5, 且 求 Z = X+Y的概率分布. 解： Z = X + Y 的所有可能取值为 P{Z= -1}=P{X+Y= -1}=P{X= -1,Y=0}=1/10 , P{Z= 0}=P{X+Y=0}=P{X= -1,Y=1}=1/20 , P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1,Y=3}+P{X=2,Y=0}= 3/20+3/10 , P 1/10 1/20 9/20 0 4/10 Z -1 0 2 3 5 下页 一、离散型 同理， P{Z= 3}= 0， P{Z= 5}= 4/20 . 所求分布律为 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10 -1 2 0 1 3 X Y 例2. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为l1与 l2 的Possion分布，令Z=X+Y，试求Z的分布律. 解：由随机变量X与Y的取值都是 0,1,2,…, 可知Z=X+Y的 取值也是 0,1,2,…, 对于n= 0,1,2,…, 有 即 Z=X+Y服从参数为 l1+l2的Possion分布. 下页 x+y=z 由对称性可得 下页 二、连续型 问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z). 根据分布函数定义有 对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为 下页 问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z). Z的概率密度fZ(z)为 二、连续型 卷积公式 若X, Y相互独立，则 f(x,y) =fX(x) ·fY(y)，代入上式得 例3．设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N(0,1), Y～N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度. 解：由于X,Y互相独立，由卷积公式得 下页 卷积公式 从而有，Z=X+Y～N(0,2) . 解: 下页 下页 下页 方法小结： ① 确定联合密度非零时的积分变量的定义域： ⒈ 确定fX(x), fY(z-x)各自的非零域A和B； ⒉ A和B的交集即为所求. ② 确定积分变量的积分限： ⒈ 将A和B的交集映射成平面坐标系中的区域； ⒉ 根据(变常数)z的变化，确定x的变化范围. 记忆要点： 困难不是难计算，关键确定积分限； 边缘密度非零域，交集映射便可见. 例5. 解: 下页 下页 解：用分布函数法 例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数. 现考虑f(x,y)0的区域与x+y ≤z的取值，分四种情况计算. ①当z0时，Fz(z)=0； ②当z2时，Fz(z)=1； 下页 ③当0≤z≤1时， 现考虑f(x,y)0的区域与x+y ≤z的取值，分四种情况计算. ④当1z≤2时， 下页 解：用分布函数法 例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数. 所以， 现考虑f(x,y)0的区域与x+y ≤z的取值，分四种情况计算. 下页 解：用分布函数法 例6.设X,Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函数. 补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数. 结束