3[1].1.3空间向量的数量积运算.ppt

* * 3.1.3空间向量的 数量积运算 一、复习引入 1.共线向量定理： 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有： 3.共面向量定理： 4.P、A、B、C四点共面充要条件： 平面向量数量积的相关知识 复习： 平面向量的夹角： A O B A B 叫做向量 a与 b的夹角。 已知两个非零向量 a 和 b， 在平面上取一点O， 作OA= a,OB= b,则 平面向量的数量积的定义： 平面向量的数量积 已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos 叫做向量a, b的数量积，记作 即 并规定 0 你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律？ 一、两个向量的夹角 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°] 二、两个向量的数量积 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. B B1 A A1 1.数量积的几何意义 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积， 不一定为锐角 不一定为钝角 三、空间两个向量的数量积的性质 (1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质. (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角． (3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据． 四、空间向量数量积的运算律 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a?b)c一定等于a(b·c)吗? 注意： 数量积不满足结合律即 × × × √ 例1 已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2a-b)；(2)|4a一2b|． l α O P 例4 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影， A l α O P A 已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影， a 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. α n l m g n z m g l 例5 如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α B *