3矩阵的特征值和特征向量.ppt

第三章 矩阵的特征值与特征向量 性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1) THE END. P88将一个方阵A对角化的三步骤. 思考? 第三章作业: 1(4),3,7,9,10(3),11,15,16 例 用相似变换化下列矩阵为对角形 解: A的特征方程为 特征值为 对于 可求得特征向量 对于 可求得线性无关的特征向量 这三个特征向量线性无关 用相似变换化矩阵为对角形. 应用 :利用对角化计算矩阵的乘方 设 解: A的特征方程为 特征值为 对应的特征向量为 对应的特征向量为 例7 返回 上页 下页 目录 第三章 矩阵的特征值与特征向量 §1 方阵的特征值与特征向量 §2 矩阵的对角化 第1节 方阵的特征值与特征向量 定义3.1 3.1.1 特征值与特征向量的基本概念 例1 解 是 不是 命题1 命题2 命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。 它有非零解的充分必要条件是 即 怎样求矩阵A的特征值与特征向量？ 矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2 A的特征方程 A的特征多项式 A的特征矩阵 特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。 求矩阵的特征值与特征向量的步骤 求矩阵A的特征方程 2.求特征方程的根，即特征值 3.对每个特征值 解方程组 求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量 便得属于 的全部特征向量。 例2：求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 A的特征值为 得基础解系 得基础解系 练习:求下列矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 A的特征值为 即 对应的特征向量可取为 对应的特征向量可取为 3.1.2 特征值与特征向量的性质 定理1 定理2 推论 若 n 阶方阵有互不相同的特征值 则其对应的特征向量 线性无关。 定理3 (2) 由于 定理4 设 A 是 n 阶方阵， 是 的特征值. 若 为 A 的特征值，则 设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求 （1） A的主 对角线元素之和 （2） 解 的特征值依次为 试证 n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充要条件是 A 中至少 有一个特征值为0。 证明 因为 为A的特征值） 所以 的充分必要条件是至少有一个特征值 为零。 第2节 矩阵的对角化 定义3.3 设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P， 使得 则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,记做A∽B. 性质 （1）反身性 A相似于A （2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A （3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。 3.2.1 相似矩阵及其性质 方阵的迹定义3.4 方阵的迹是它的主对角线上的元素和 例5 Tr(A)=2+(-3)+0=-1 性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1) 相似矩阵的性质 若A和B相似，则 A和B有相等的秩。 2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2) 证明（1） 3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2) 4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 TH5 推论 如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。 定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 3.2.2 矩阵的对角化 必要性 设A相似于对角矩阵 即存在可逆矩阵B，使得 由B可逆便知： 都是非零向量，因而都是A的特征 向量，且 线性无关。 推论 如果n阶矩阵A的特征值 互不相同 则A相似于对角矩阵 定理3.7 n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量. 相似变换 若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵 例 矩阵 A = 能否相似于对角阵？ 解 =(λ- 2)(λ-1)2 所以 A的特征值为 λ1 = 2 λ2 =λ3 = 1 对于 λ2 =λ3 = 1，解方程组 (I – A )χ= 0 对系数矩阵作初等变换 解方程组 得通解 为任意常数） 因为 λ2 =λ3 = 1 是二重根，而对应于λ2 =λ3 = 1无两个线性无关的特征向量