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第三章 命题逻辑的推理理论 3.1 推理的形式结构 所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程. 本节所要研究的内容是以什么样的形式来进行推理, 什么样的推理过程才是正确的推理过程, 也就是说什么样的推理才是有效的推理. 3.1 推理的形式结构 定义3.1 设A1,A2,…,Ak,B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak,B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧ … ∧Ak为假，或者当A1∧A2∧ … ∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。 3.1 推理的形式结构 关于定义3.1的说明： （1）由前提A1，A2，…Ak 推 B 的推理 记作{A1，A2，…Ak}├B,称为推理的形式结构。 若推理正确，记作{A1，A2，…Ak}|=B ， 否则：记作{A1，A2，…Ak}|≠B。 3.1 推理的形式结构 (2)对于任一组赋值，前提和结论的取值有以下四种情况： ① {A1，A2，…Ak}为0，B为0。 ② {A1，A2，…Ak}为0，B为1。 ③ {A1，A2，…Ak}为1，B为0。 ④ {A1，A2，…Ak}为1，B为1。 结论: ① ② ④ 情况下的推理是正确的. ③ 情况下的推理是错误的. 3.1 推理的形式结构 （3）推理正确, 并不能保证结论B一定为真, 这与数学上的推理是不同的. 判断下列推理是否正确 (1) {p,p?q}├q (2) {p,q?p}├q 3.1 推理的形式结构 定理3.1 命题公式A1，A2，…Ak 推 B 的推理正确当且仅当 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) ?B为重言式。 （证明参见课本） 本书中, 一般采用(A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) ?B作为推理的形式结构, 并且把它写成下面的形式. 前提：p , p ? q 结论：q 推理的形式结构： (p ∧(p ? q)) ?q 只要证明蕴涵式(p ∧(p ? q)) ?q为重言式即可。 三种方式证明：真值表、 等值演算、 主析取范式。 例：判断下列推理是否正确。 1、今天小李或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。 设 p：小李去网吧。q：小李去教室。则 （2）等值演算法： ((p∨q) ∧?q) ?p ?((p∧?q )∨(q∧?q)) ?p ?(p∧?q ) ?p ? ? (p∧?q )∨p ? ? p∨q∨ p ? 1 所以，推理正确，即((p∨q)∧?q) ? p （3）主析取范式法： ((p ∨ q) ∧ ?q) ?p ? ?((p ∨ q) ∧?q) ∨ p ? ?(p ∨ q) ∨ q ∨ p ? (? p ∧ ?q ) ∨ q ∨ p ? (?p∧ ?q )∨q∧(p∨?p)∨p∧(q∨?q ) ? (?p∧?q )∨(q∧p)∨(q∧?p)∨(p∧q)∨( p∧?q ) ? m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 所以，推理正确，即((p∨q)∧?q) ? p 例：判断下列推理是否正确。 2、若a能被4整除，则天下雨。现在天下雨，所以a能被4整除。 设 p： a能被4整除。q：天下雨。则， 前提：p ? q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p ? q) ∧ q) ?p 3、若下午气温超过30?C，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温必超过了30?C。 推理定律 1.附加律 A ? (A ∨B) 2.化简律 (A ∧ B) ? A 3.假言推理 (A→B) ∧ A ? B 4.拒取式 (A→B) ∧ ? B ? ? A 5.析取三段论 (A ∨B) ∧ ? B ? A 6.假言三段论 (A→B) ∧ (B→C) ? (A→C) 7.等价三段论 (A ?B) ∧(B ?C) ?((A ?C) 8.构造性二难 (A→B)∧(C→D)∧( A∨C) ?(B∨D) (特殊形式) (A→B)∧(? A→B)∧( A∨? A) ? B 9.破坏性二难 (A→B)∧(C→D)∧(? B∨ ?D) ?(? A∨ ? C) 判断推理是否正确，上述三种方法演算量太大，故而应给出严谨的证明。证明是一个描述推理过程的命题公式的序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者由某些前提应用推理规则得到的结论