3线性代数线性相关性判定定理.ppt

* * §3.3 线性相关性判定定理 定理1　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　 则有 即 能由其余向量线性表示. 　向量组 （当 时）线性无关 的充分必要条件是 中任何一个向 量都不能由其余 个向量线性表示． 定理1的逆否命题 例1 向量组 线性相关的充要条件是 （A） 中有一零向量 （B） 中任意两个向量的分量成比例 （C） 中有一向量是其余向量的线性组合 （D） 中任意一个向量是其余向量的线性组合 例2 若向量组 线性相关，则 是其余向量的线性组合，这种说法对吗？ 不对 例如 但 不能写成其余向量的线性组合 所以线性相关 由于 例3 假定 能用 表示为 问向量组 是否线性相关？ 由定理1知 线性相关 . , , , , , : , , , , : 1 2 1 且表示式是唯一的 线性表示 必能由向量组 向量 则 线性相关 组 而向量 线性无关 设向量组 A B A r r a a a a a L L 定理2 证 设 ∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） ∴β可由Ａ线性表示. 即有 下证唯一性： 两式相减有 ∵Ａ线性无关， 即表达式唯一. 设 定理2的逆否命题 设向量组A： 线性无关，而向量β不能由向量组A线性表示，则向量组B： 线性无关。 （A）如果存在不全为零的数 使 则 线性无关 （B）若向量组 线性相关， 则 可由其余向量线性表示 （C）向量组 线性无关的充要条件是 不能由其余m－1个向量线性表示。 （D）若 不线性相关，则一定线性无关 例4 设 是一组n维向量，则下列结论正确的是 例5 命题：如果 线性无关，且 不能由 线性表示则 线性无关。是否为真命题？ 答 此命题为定理2 的逆否命题，所以为真命题 例6 命题：设 可由 线性表示，且表示法唯一，则 线性无关。是否为真命题？ 证 由已知 可由 线性表示 存在一组数 使得 设 两式相加得 因 由 唯一的线性表示 所以 所以 即 线性无关 所以此命题为真命题 , 也线性相关。 若干个向量后所得的向量组 线性相关 若向量组 , , , 2 1 r