4-1向量的内积与正交.ppt

线性代数 第四章 第一节 定义1 性质 定义2 例1 二、正交向量组 定理1 正交向量组是线性无关的向量组， 例3 定义4 定理2 例5 单位化 在本例的计算过程中， 三、正交矩阵 A 为正交阵 性质3 例6 * 主讲教师: 张 伟 一、向量的内积与正交 四、实对称矩阵的对角化 相似矩阵与二次型 三、相似矩阵 二、方阵的特征值与特征向量 五、二次型及其矩阵表示 六、化二次型为标准形 一、向量的内积 二、正交向量组 三、正交矩阵 向量的内积与正交 第四章 设 称 为向量 与 的内积 . 定义了内积的向量空间 叫做欧氏空间 。 ， 为行向量， 简记 ， 为列向量， 简记 一、向量的内积 设 时等式成立 当且仅当 都是 n 维向量， K 为实数则有 下面证明 30。 设 称 为 的长度。 当 时， 称为单位向量。 当 时， 称 与 正交。 显然，若 那么 与任何向量都正交。 定义3 对于 证明 证明 的规范化(单位化)向量。 称 为 例2 将向量 单位化。 解 设有非零向量组 如果其中任意两个不 同的向量都是正交的，即 则称该向量组为正交向量组。 中两两正交、非零向量组 一定线性无关。 证明 设有一组数 使 作内积 两边与 线性无关。 故 但线性无关 向量组却不一定是正交向量组。 例如 是线性无关的向量组，但是由于 因此，它不是正交向量组。 单位化得? 求与 都正交的单位向量。 设所求向量为 解 即 为所求的向量 令 得 都是的标准正交基。 在欧氏空间 中， 若 满足 称 为标准正交基。 例如在 中， 及 求 在标准正交基 下的坐标。 解 作内积 两边与 例4 设 是欧氏空间 中的一个 令 线性无关向量组。 … 则 是正交向量组， 等价。 并且 与 施密特正交化方法 正交化，取 解 先将 化成标准正交基. 试用施密特正交化过程求与线性无关的向量组 等价的单位正交化向量组（正交化，标准化）。 即是一组标准正交基。 为等价的单位正交化向量组。 的分量是分数， 为了计算 方便，我们也可以取 来代替 此时 同样可得正交向量 然后再标准化， 仍可得标准正交向量组 是n阶方阵,若 ?是正交矩阵 称 性质2 的列(行)向量组为正交单位向量组 标准正交基) 是正交矩阵 证明 设 则 定义5 性质1 ?是正交矩阵则A可逆且 设 例5 观察下列矩阵是否为正交矩阵 即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。 解 则 A 是正交矩阵。 则 B 是正交矩阵。 则 C不 是正交矩阵。 设 A、B 都是正交矩阵， 则 AB 也是正交矩阵。 证 因为 A 、B都是正交矩阵，则 则 AB 也是正交矩阵。 性质4 设 A 是正交矩阵，则 也是正交矩阵。 性质5 设 A 是正交矩阵，则 为 阶正交阵，则 或 (1)? (2) 是正交矩阵 证明 (1) (2) 可逆， 从而 *