4-2期望的性质及随机变量函数的期望.ppt

函数与极限 4. 2 期望的性质及随机变量 函数的期望 小结 思考题 * * 期望的性质 小结 思考题 随机变量函数的期望 一、期望的性质 性质1 性质2 性质3 推论1 为常数； 为常数； 推论2 性质4 推 论 在上面各性质中，假设数学期望都存在． 例1 解 若 相互独立， 若 相互独立， 的分布律为： 设 服从超几何分布， 求 则 则 则有 设想一个相应的抽样．有 个球，其中 个白 球， 个黑球．随机抽取 个球，取出的白球数 为 ，则 服从超几何分布． 因一次取 个球与不放回地取 次每次一只是 等效的，故引进新的随机变量 定义如下： 而 的概率分布为 所以 例2 设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部 件进行调整，3个部件需要调整的概率分别为0.1， 不求分布律，运用性质3计算． 解 设 0.2，0.3且相互独立．记 为需要调整的部件数， 求 则 故 而 分别服从参数为0.1，0.2，0.3的0—1分布， 在求随机变量 的数学期望时，许多情况下可 避免求复杂的概率分布，而是将 分割成一系列简 单随机变量 (常服从0—1分布)相加，再应用期 望的可加性求出最后结果． 注： 二、随机变量函数的期望 关于一元随机变量函数的期望我们给出下面的定理． 定理1 则有 设 ， 是连续函数． （1）若 是离散型随机变量，分布律 ， 且 则有 且 （2）若 是连续型随机变量，概率密度 例3 设 服从参数为 的泊松分布， 求 解 的分布律为 关于二元随机变量函数的期望我们给出下面的定理． 定理2 设 ， 是连续函数． 且 （1）若（ ）是二维离散型随机变量， 则有 分布律为 则有 通过定理2可得到 离散型 连续型 （2）若（ ）是二维连续型随机变量， 其概率密度为 , 且 例6 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 试求XY的数学期望. 解 例7 且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售 出一单位商品可获得利润1000元；若需求量超出 了进货量，商店可从其它商店调剂供应，调剂来 的商品每单位可获利500元．计算商店经销该种 商品每周所得利润的期望值． 一商店经销某种商品，每周进货的数量 与顾客 对该种商品的需求量 是相互独立的随机变量， 解 则 , 的联合密度为 设 表示商店每周所得的利润， 由图知: 本节给出了期望的几条性质，在求一些较复杂随机变量的期望时应用性质能简化计算。关于随机变量函数的期望也给出了相应的算法. 次为止,设每次射击的命中率为 ， 对某一目标连续射击，直至命中 的数学期望． 求消耗的子弹数 * *