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上一讲我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的. §2 方差 例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图: 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢? 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图: 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 一、方差的定义 设X是一个r.v.,若E{[X-E(X)]2}存在,则称 D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2 } 为X的方差. 在应用上还引入与r.v.X具有相同量纲的量 ,记为 ,称为X的标准差或均方差. 若X的取值比较分散,则方差较大 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中,则方差较小; D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2} X为离散型, P{X=xk}=pk 由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为连续型, X ~ f(x) 二、计算方差的一个简化公式 D(X)=Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证:D(X)=E{[X-E(X)]2} =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 例1 设r.v. X服从几何分布,分布律为 P(X=k)=p(1-p)k-1, (k=1,2,…) 其中0p1,求D(X) 解: 记q=1-p 求和与求导 交换次序 无穷等比 级数求和公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 +E(X) 设连续型r.v.X的密度函数f(x)为: 求D(X). 解: 例 2 设r.v.X的期望和方差为E(X)和D(X),且D(X)0,求: 例3 解: 的期望和方差. 三、方差的性质 1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若X1与X2 独立,则 D(X1+X2)=D(X1)+D(X2); 可推广为:若X1,X2,…,Xn相互独立,则 4. D(X)=0 P(X= C)=1, 这里C=E(X) P(X= x) 两点分布 四、常见随机变量的方差 二项分布 X ~ b(1, p), D(X)=p(1-p) X ~ b(n, p), D(X)=np(1-p) X ~ π(?), D(X)=? 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 X ~U(a, b), D(X)=(b-a)2/12 X ~ E(? ), D(X)= ? 2 X ~ N(μ, σ2), D(X)= σ2
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