4-4能控规范形和能观规范形.ppt

第4章 线性系统的能控性和能观性 * * 4.6 能控规范形和能观规范形 由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。 若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。 约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量为其状态空间基底所导出的规范形。 从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵?(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。 下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成 对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和 能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。 讨论的主要问题: 基本定义: 能控规范I/II形、 能观规范I/II形 基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法 讲授顺序为: 能控规范形 能观规范形 则称该状态空间模型为能控规范I形。 4.6.1 能控规范形 定义 若SISO系统的状态空间模型为 且系统矩阵A和输入矩阵B分别为 若系统矩阵A和输入矩阵B分别为 则称该状态空间模型为能控规范II形。 ? 上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。 下面讨论如下两个问题: 能控规范形一定是状态完全能控和 一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。 即能控性矩阵的秩都为n。 故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。 能控规范形一定是状态完全能控? 由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如下能控性矩阵: 由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控, 因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。 下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。 对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形和II型的定理。 定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩阵Tc1如下 Tc1=Qc=[B AB … An-1B] 是非奇异的。 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成能控规范I形: 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。 定理4-25 对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩阵Tc2如下 式中， T1=[0 … 0 1][B AB … An-1B]-1 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形: 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范II形所定义的。 是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。 由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。 例4-19 试求如下系统的能控规范I和II形: 解 系统的能控性矩阵 (2) 求能控规范I形。 根据定理4-24,系统变换矩阵可取为 因此,经变换 后所得的能控规范I形的状态方程为 (2) 求能控规范II形。 计算变换矩阵 先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=[0 1][B AB]-1=[1/2 1/2] 则变换矩阵Tc2可取为 因此,经变换 后所得的能控规范形的状态方程为 4.6.2 能观规范形 对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统Σ(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范I形； 对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统Σ(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范II形。 由上述定义可知: 能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即 能观规范I形与能控规范I形互为对偶, 而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。 由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对偶系统能观规范形是状态完全能观的。 由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。 下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如下定理。 定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统Σ(A,B,C)引入变换矩阵To1满足 那么线性变换 ,必能将状态空间模型Σ(A,B,C)变换成能观规范I形: 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范I形所定义的。 定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统Σ(A,B,C)引入变换矩阵co2如下 To2=[R1 A