4.1平面向量的概念及线性运算.ppt

* 第四编 平面向量 §4.1 平面向量的概念及线性运算 基础知识 自主学习 要点梳理 1.向量的有关概念 （1）向量：既有 又有 的量称为向量， 向量的大小叫做向量的 （或 ）. （2）零向量： 的向量称为零向量，其 方向是 . （3）单位向量：长度等于 的向量. 大小 方向 长度 长度为0 任意的 1个单位长度 模 (4)平行向量：方向 或 的 向量.平 行向量又称为 ，任意一组平行向量都 可以平移到同一条直线上. 规定：0与任一向量 . （5）相等向量：长度 且方向 的向量. (6)相反向量：长度 且方向 的向量. 相同 相反 非零 共线向量 平行 相等 相同 相反 相等 2.向量的加法和减法 （1）加法 ①法则：服从三角形法则，平行四边形法则. ②运算性质： a+b= (交换律）； (a+b)+c= （结合律）； a+0= = . (2)减法 ①减法与加法互为逆运算； ②法则：服从三角形法则. b+a a+(b+c) 0+a a 3.实数与向量的积 （1）长度与方向规定如下 ①|λa|= ; ②当 时，λa与a方向相同；当 时，λa 与a方向相反；当λ=0时，λa= . (2)运算律：设λ、μ∈R，则 ①λ(μa)= ;②(λ+μ)a= ; ③λ(a+b)= . 4.两个向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是 . |λ||a| λ0 λ0 0 (λμ)a λa+μa λa+λb 有且只有一 个实数λ，使b=λa 基础自测 1.下列等式正确的是 （填序号）. ①a+0=a； ②a+b=b+a ③AB+BA≠0；④AC=DC+AB+BD 解析 方法一 ∵AB与BA为相反向量， ∴AB+BA=0，故③错. 方法二 AB+BA=（OB-OA）+（OA-OB） =OB-OB-OA+OA=0，故③错. ①②④ 2.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a, AD=b，则BE= . 解析 如图所示，BE=BC+CE =AD- AB= . 3.（2008·广东理）在平行四边形ABCD中,AC与 BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与 CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF= . 解析 如图所示,∵E是OD的中点, ∴OE= BD= b. 又∵△ABE∽△FDE, ∴AE=3EF,∴AE= AF. 在△AOE中,AE=AO+OE= a+ b. ∴AF= AE= a+ b. 4.（2008·辽宁理）已知O、A、B是平面上的三个 点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则 OC= （用OA、OB表示）. 解析 ∵2AC+CB=0， ∴2（OC-OA）+（OB-OC）=0， ∴OC=2OA-OB. 2OA-OB 典型例题 深度剖析 【例1】下列命题正确的是 （写出正确的所有 序号）. ①若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一 平行四边形的四个顶点； ③若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行。 熟练掌握向量的有关概念并进行判断. 分析 解析 由于零向量与任一向量都共线，所以①不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就不可能构成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以④不正确；对于③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应 选③. 答案 ③ 跟踪练习1 （2010·常州模拟）给出下列命题 ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相 反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相 同； ④两个有共同终点的向量，一定