4.1随机变量的数字期望.ppt

第四章 随机变量的数字特征 * * 高校理科通识教育平台数学课程 概率论与数理统计 ● 讲授 孙学峰 随机变量的数字特征 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值 4.1 随机变量的数学期望； 4.2 随机变量的方差 ； 4.3 协方差和相关系数 ; 本章内容： 4.4 矩与协方差矩阵 . 数字特征 §4.1 随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 引例 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出 问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？ 解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。 分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分别为 次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为 由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均击中环数, 则 故认为甲射手的水平较高。 由于 可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。 定义 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X = xk }= pk ， k =1,2,3… 若级数 ，则称级数和 为随机变量 X 的数学期望（或均值）， 记作E（X） 随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求 否则，称随机变量的数学期望不存在． X －1 3 P 0.4 0.6 解 易知 例1 设随机变量X的分布列为 求 若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分． 求随机变量X和Y的数学期望． 于是有 解 由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为 例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 1 2 5/8 3/8 1 2 3 3/8 1/4 3/8 定理1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 则 证明 关于X的边缘分布为 于是有 同理可得 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分 收敛 ，则称随机变量X的数学期望不存在。 收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即 2. 连续型随机变量的数学期望 试证X的数学期望不存在． 证 因为 例3 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为 即 不收敛，所以X的数学期望不存在． 求X的数学期望. 例4 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为 解 由已知可得 例5 设二维连续型随机变量的概率密度函数为 解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为 求E（X），E（Y）． 于是有 定理2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f (x, y), 则有 于是有 证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为 3. 随机变量函数的数学期望 如果级数 收敛，则有 定理3 设X是随机变量，Y = g(X)是X的连续函数，则有 (1) 若 为离散型变量，其概率函数为 如果积分 收敛 则有 (2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x), (3) 如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P{ X=xi Y=yj} = pij i,j =1,2,3,…, 如果