4.3协方差相关系数.ppt

§4.3 协方差及相关系数 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、协方差 二、相关系数 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、协方差 定义1：称数值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y)(Covariance)或σxy，即： σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (1) 说明： 1) 由定义1，若(X,Y)是离散型的，则 若(X,Y)是连续型的，则 2) 由方差的定义知D(X)= σxx，D(Y)= σyy 3) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =σxx+σyy+2σxy (4) 4) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (5) 且由方差的性质3知：当X,Y相互独立时，σxy＝0，但反之不一定。 反例：设(X,Y)的联合密度是 f(x,y)= ，x2+y2≤1 0 ，其它 求：σXX，σXY，σYY σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (1) 反例： 设(X,Y)的联合密度是 解： E(X)=E(Y)=0 σXX=σYY=1/4 ，σXY＝0 故X与Y不相互独立 可见σXY＝0是随机变量X与Y独立的必要条件而非充分条件. f(x,y)= ，x2+y2≤1 0 ，其它 σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (1) 注:对二维正态向量而言，σXY＝0是X,Y相互独立的充要条件。§3.4例2曾证明X,Y独立的充要条件是ρ＝0，以下例题将证明ρ＝0与σXY＝0等价。 例1 设(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。 解： E(X)=μ1，E(Y)=μ2，σXX=σ12，σYY=σ22 例1 设(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。 二、协方差的性质 1. Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 2. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) ，a,b是常数 3. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 4. , 等号成立当且仅当存在常数a和b，使 成立． 三、相关系数 定义2 为随机变量X,Y的相关系数(分母不为零)，有时简记ρ 显然，对二维正态分布N(μ1，μ2，σ12，σ22， ρ)而言，其相关系数为ρ. ρxy的含义： 以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差 来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度，e越小表示a+bX与Y的近似程度越好，因此，我们取a,b使e取到最小 定义2 解得 由(8)易得 定理 1) |ρxy|≤1 2) |ρxy|=1的充要条件是：存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1 相关系数ρxy的含义： ρxy是一个可以用来衡量X,Y之间线性关系紧密程度的量，当| ρxy |较大时， X,Y就线性关系而言联系较紧密，我们称X,Y线性相关的程度较好，当| ρxy |=1时， X,Y 之间以概率1存在着线性关系，当ρxy ＝0时，称X和Y不相关。 说明： 1)当X,Y相互独立时，ρ＝0，但反之却不一定，只有在二维正态向量中X,Y相互独立= X,Y不相关(ρ＝0) 2) ρ是表征X,Y的线性关系的， ρ很小并不说明X,Y之间没有关系，如若X～N(0,1)，Y=X2，则ρxy＝0，但Y是X的二次曲线 例1中设(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，则有 这说明二维正态随机变量(X, Y)的概率密度的参数就是X和Y的相关系数，因而二维正态随机变量的分布完全由X和Y的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定． 对于二维正态随机变量(X, Y)，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的． 例2 将一枚均匀的硬币掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，试求X和Y的协方差和相关系数． 解 由题意可知， X和Y的相关系数 相关系数等于－1，这是因为 总是成立． 例3 对于(X,Y)，已知D(X)=D(Y)=1，ρxy＝1/2 ，求D(X－2Y)