4.6.3中心极限定理.ppt

* * 4.6.3 中心极限定理 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. 考虑 3.6.3 中心极限定理 这就是下面要介 绍的 定理4.7（李亚普诺夫（Liapunov）定理） 设X1,X2, …是相互独立的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，再令 则 定理4.8（独立同分布下的中心极限定理） 它表明：当n充分大时，n个具有相同期望和方 差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则 或者 即 定理4.9(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，若Yn~B(n,p),z则当n很大，0p1时， 或者 例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 由题给条件知，诸Xi独立， 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100, D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由题给条件知,诸Xi独立, 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100,D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(Y1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应至少多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 用X表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验， 每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设至少需N千瓦电力， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0. 查正态分布函数表得 由 ≥0.999， 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 例4.23 设有一批种子良种率为1/6，从中任选600粒，求其中良种所占比例在1/6±0.02的概率（1）用切比雪夫不等式估计；（2）用中心极限定理计算近似值。 解 设X表示任选的600粒种子中良种的粒数，则 X ~ B(600, 1/6) E(X) = np = 600×1/6 =100, D(X) = np(1-p) = 600×1/6×5/6 =250/3, 所求概率为 （1）用切比雪夫不等式估计 E(X) =100, D(X) =250/3, （2）用中心极限定理计算 例4.24 多次测量一个物理量，每次都产生一个随机误差 ei (i=1,2, …，n).假定这些误差服从均匀分布。问n次测量的算术平均值与真值的差小于正数d的概率是多少？若n =100，d = 0.1，上述概率的近似值是多少？对d = 0.1，欲使上述概率值不