4.8能控标准形和能观标准形.ppt

现代控制理论 4.8 能控标准形和能观标准形 第四章 线性系统的能控性与能观性 * 4.8.1 系统的能控标准形 式(4.8.2)中,系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有标准结构(列向量B中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵。),易证与其对应的能控性判别矩阵Uc是一个主对角元素均为1的右下三角阵,故det(Uc)≠0,rank(Uc)=n,即系统一定能控。因此,若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有形如式(4.8.2)中的标准形式,则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。 一个能控系统,当其系统矩阵和输入矩阵对(A , B)不具有能控标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。 定理4.8.1 如果系统 是能控的，那么必存在一非奇异变换 使其变换成能控标准形 线性变换矩阵 例4.8.1 线性定常系统 能控性矩阵 逆矩阵 推论1：设单输入线性定常系统 （4.8.1） 能控,式中A,b分别为 矩阵,且系统的特征多项式为 则可通过非奇异线性变换 将式（4.8.1）变换为能控标准型 式中 , 实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。可以证明,引入非奇异变换 ,将状态完全能控的单输入系统式(4.8.1)变换为能控标准型式(4.8.2)的变换矩阵 的逆矩阵可表达为 【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数 解 ：变换前系统能控判别矩阵 因为 ,故系统是能控的，可化为能控标准型。 又因为系统的特征多项式为 故 , ， 引入 , 其中非奇异变换阵 由推论中得 也可根据定理8.1先求变换阵 的逆矩阵 则 变换后所得能控标准型为 其中 , 4.8.2 系统的能观标准形 ， 式(4.8.19)中,系统矩阵和输出矩阵对(A , C)具有标准结构(行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵的转置), 易证与其对应的能观测性判别矩阵UO的行列式 ,故 ,即系统一定能观测。若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对(A ,C) 具有形如式(4.8.19)中的标准形式,则称其为能观测标准型,且该系统一定是状态完全能观测的。 一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对 (A , C) 不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型。 定理 4.8.2 如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换　　　将系统变换为能观标准形 例4.8.2 能观性矩阵 推论2：设单输出线性定常系统 （4.8.15） 能观测,式中A,C分别为 矩阵,且系统的特征多项式为 则存在线性非奇异变换 变换矩阵 的逆矩阵 将式（4.8.15）变换为能观测标准型（4.8.19）。