4h第四章常用概率分布.ppt

第四章 常用概率分布 二项分布 二项分布的概念与特征 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点， n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。 二项分布 例4-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为π，。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？ 因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效 二项分布 医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为?，阴性结果的发生概率均为（1－?）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的次人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，π）。 二项分布 二项分布的概率函数P(X)可用公式（4-1）来计算。 二项分布 例4-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？ 二项分布 二项分布 由表4-1可知,各种可能结果出现的概率合计为1，即?P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是 P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=1－P（0）=1－0.064=0.936 也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936 二项分布 二项分布的特征 二项分布的图形特征 ?接近0.5时，图形是对称的；图4-1 ?离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图4-2 当n→∞时，只要?不太靠近0或1， 当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。 二项分布图形取决于?与n，高峰?=n?处 二项分布 图4-1 π=0.5时,不同n值对应的二项分布 二项分布 图4-2 π=0.3时, 不同n值对应的二项分布 二项分布 二项分布的均数和标准差 总体均数： 方差： 标准差： 二项分布 如果将出现阳性结果的频率记为 总体均数： 标准差： 二项分布 例4-4 研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。 二项分布 二项分布的应用 （一）概率估计 例4-5 　如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？ 从n=150，π=0.13的二项分布，由公式（4-1）和（4-2） 二项分布 可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为 二项分布 单侧累积概率计算 二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为 出现阳性的次数至少为k次的概率为 二项分布 例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？ 二项分布 根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的概率为 至少有2名感染钩虫的概率为 二项分布 至少有20名感染钩虫的概率为 Poisson分布 Poisson分布的概念 Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。医学上人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件等都是罕见的，可能发生这些事件的观察例数n常常很大 ，但实际上发生类似事件的数目却很小很小。 Poisson分布 Poisson分布可以看作是发生的概率?（或未发生的概率1－?）很小，而观察例数n很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条以外，Poisson分布还要求?或（1－?）接近于0或1（例如0.001或0.999）。 Poisson分布 Poisson分布的特征 Poisson分布的概率函数为 式中， 为Poisson分布的总体均数，X为观察单位内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。 Poisson分布 由图4-3可以看到Poisson分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。 Poisson分布有以下特性： （1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等,均为 （2）Poisson分布的观察结果有可加性 Poisson分布 Poisson分布 Poisson分布的应用 （一）概率估计 例4-7