基于不光滑边界的变系数抛物型方程的高精度紧格式.pdf

2013年 8月 计 算 数 学 第 35卷第 3期 Aug．，2013 MATHEMATICA NUMERICA SINICA Vo1．35，No．3 基于不光滑边界的变系数抛物型方程的 高精度紧格式 ) 郑 宁 殷俊锋 (同济大学数学系，上海200092) 摘 要 本文讨论基于不光滑边界的变系数抛物型方程求解的高精度紧格式．首先构造一般变系数抛 物型方程的高精度紧格式，并在理论上证明格式具有空间方向四阶精度．然后针对非光滑边界条 件，引入局部网格加密技巧在奇异点附近进行不均匀的网格加密．数值实验以期权定价中Black— Scholes偏微分方程的求解为例，验证高精度紧格式用于光滑边界条件的微分方程离散可以达到 四阶精度．对于处理非光滑边界条件，网格局部加密技巧能有效的提高数值解精度，使得高精度紧 格式用于定价欧式期权可以接近四阶精度． 关键词：变系数抛物型方程；不光滑边界；高精度紧格式；局部网格加密 MR (2000)主题分类：65M06，65M20，65M50，65G40 1-引 言 本文考虑一般变系数抛物型方程 丝 一Ot=_一00(J)【象++ccl(J)+十ee(咖J【札 的求解，其中 (X，t)∈Q，Q是 中的规则区域．系数o()，c(x)和e(x)在区域 2【上充分光滑， 边界条件在 aQ上连续，但不光滑．许多实际应用问题，都能归结为此类偏微分方程 问题的求 解．以金融期权定价中Black-Scholes模型 【]为例，为了得到期权价格，必须求解边界条件一 阶导函数不连续的变系数抛物型方程．由于期权价格的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况， 市场往往需要快速精确的求出期权价格，这就需要设计出高效的高精度格式对偏微分方程进 行离散求解． 传统的有限差分方法采用二阶中心差分格式，即用三个节点的函数值来近似一个节点上 的一阶、二阶导数值．用中心差分格式离散微分方程后，需要求解三对角系数矩阵的线性方程 组．为了得到更高精度 (精度高于二阶)的差分格式，往往需要更多的计算量来求解线性方程 组．如五点格式，七点格式等，用更多的节点近似一阶、二阶导数，导致差分离散得到的系数 矩阵带宽增加，即存储量增加，从而计算量增加．高精度紧格式在不增加离散矩阵带宽的前提 下，提高格式精度至四阶．这样求解线性方程组计算量基本保持不变，而数值解的精度却明显 提高．换句话说，得到同样精度的数值解，高精度紧格式所需要的离散网格节点数比中心差分 格式少得多．因此，高精度紧格式吸引了广大研究者的关注，成为一个研究热点． 2012年 12月 12日收到． )基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目(NondNo．Ul135003) 276 计 算 数 学 Spotz在博士论文 1【2]中提出一维和二维定常对流扩散方程的高精度紧格式，在理论上 分析格式的四阶精度和稳定性，在 1【1】中将高精度紧格式推广到依赖时间的方程 (1．1)的求 解上，但其讨论的偏微分方程中扩散项前系数为常数．Karaa和 Zhang等人在 [5，6】中分别 考虑二维和三维对流扩散方程的高精度求解，但其系数均假设为常数．Tangman等人在 [13， 14]中将高精度紧格式用于欧式美式期权定价上，其采用的格式为文献 1【2]中格式的特殊情 形．值得注意的是，上面提到的这些高精度紧格式都是处理边界条件光滑时的情形．如果边界 条件存在奇异性，则数值结果无法达到高精度_l． 为了克服非光滑边界条件对数值解精度造成的影响，一些学者对此作出广泛而深入的研 究．常用的方法有：对奇异边界进行光滑化处理，或者在奇异点附近作伸缩变换，局部网格加 密等．Dfiring等人在 [3]中对边界条件用光滑的样条线函数逼近后，可以得到高精度效果，但 样条