4动力学普遍定理的综合应用.ppt

* 动力学普遍定理的综合应用 1 动量定理 微分形式的质点系动量定理： 质点系动量定理的积分形式： 质心运动定理： 实际应用中，以上各式均可取投影式，并遵循守 恒定理。 2 动量矩定理 质点系(对固定点)的动量 矩定理： 质点系对任一固定轴的 动量矩定理： 质点系的动量矩守恒定理： 质点系动能定理的微分形式： 2 动能定理 质点系的动能定理： 牛顿第二定理 刚体定轴转动微分方程 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法， 但在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用一个 定理解决全部问题, 需要综合应用几个定理来求解。 动量定理和动量矩定理是矢量形式，应用时常取投影式，并只需考虑质点系所受的外力作用。 质心运动定理常用于分析质点系受力与质心运动的关系。 动能定理是标量形式，在许多实际问题中约束反力又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度和加速度较为方便。 一般性原则： (1) 求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能 定理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统； (2) 应用动能定理的积分形式, 如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数, 则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便； (3) 对于既要求运动又要求约束力的问题, 因为应用 动能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动 , 然后再应用质心运动定理或动量矩定理来求约束力； (4) 当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组 合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后联 立求解； (5) 注意动量、动量矩守恒问题，特别是仅在某一方向 上的守恒。 例1. 图示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B的质量各为m1和m2，三棱柱B的斜面与水平面成θ角。如开始时物系静止，忽略摩擦力，求运动时三棱柱B的加速度。 解：整体受力与运动分析如图，由x方向动量守衡可得: (1) 该系统动能为: 设此时三棱柱A沿B下滑的距离为ds，则力的功为: 由动能定理微分形式，有 上式两边除以dt，并注意 ，即可得 (2) 由（1）、（2）两式解得: (1) 例2. 两轮小车如图，已知：车轮C作纯滚动，车轮各重为P、半径为r，车身重为4P，A轮重为2P，半径为R，斜面倾角 。各轮均为均质轮，B轮质量不计，绳的两直线段分别与斜面和水平面平行。试求：（1）两轮小车车身的加速度；（2）支座O的反力。 运动学关系： 解: 以整个系统为研究对象，应用质点系动能定理， 作用于系统的所有力的元功总和为： 任意时刻系统的动能为 由质点系动能定理： 两边对除以dt： 对A轮： 例3.图示机构中，已知：作纯滚动的匀质轮A重为Q、半径为R，其上作用一力偶矩为M的常力偶；物B重为P，滑轮C、绳子的质量及轴承处的摩擦不计，与轮A相连绳段与水平面平行。试求：（1）重物B上升的加速度a；（2）地面作用于轮A的摩擦力。 解：应用动能定理的微分形式： 由 两边除以dt,可得： 例4.均质杆 OA=L，质量为m，由水平位置无初速地释放，试计算图示位置OA杆的角速度、角加速度及O处的约束反力。 解（1）应用动能定理的积分形式： 由 （2）由刚体定轴转动微分方程： （3）求约束反力 由质心运动定理： 解出： 例3. 图示系统中，已知：均质杆AB重100N、长20cm，弹簧的刚性系数 k=20N/cm，杆与水平线的夹角为 ， 时弹簧的长度为原长，滑块的重量及摩擦不计。试求：（1）杆在 处无初速地释放，弹簧伸长的最大距离；（2）将杆由 时无初速地释放，到达 时，杆的角速度。