5-1向量的内积、长度及正交性.ppt

* * * * 第一节 向量的内积、长度及正交性 相似矩阵及二次型 一、向量的内积及其性质 二、正交向量组、规范正交基 三、正交矩阵、正交变换 四、小结 思考题 返回 上页 下页 一、向量的内积 1. 向量的内积 规定 ? 和 ? 的内积为 定义 1 设两个 n 维向量 ， n 维向量的内积是 几何向量内积(也称为点积、点乘、数量积、标量积)的推广. (即，对应分量的乘积之和) 返回 上页 下页 说明 则，内积可用矩阵记号表示为 (1) 当 ? 和 ? 都为列向量时(一般做法)， 返回 上页 下页 ，等号成立当且仅当 . ④ ① (交换律) ② (结合律) ③ (分配律) 根据定义，容易证明内积具有如下运算性质： (设?, ?, ? 为 n 维实向量，k 为实数) (2) 若已知 ? 是行向量， ?为列向量，则内积应为 上页 下页 2. 向量的长度 (2) 任意非零向量 ?，可通过长度进行单位化， 是单位向量. 即， 定义 2 设 n 维向量 规定? 的长度(或范数)为 (1) 若 ，则称向量 ? 为单位向量. 说明 返回 返回 上页 下页 例 1 已知 解 计算两个向量单位化后的内积. 返回 上页 下页 证 参见 . 定理 1 向量的内积满足 即 (称为Cauchy-Schwarz不等式) 向量长度的性质： ② (齐次性) ③ (三角不等式) 性质①②显然成立，性质③的证明参见 . 附录 1 附录 2 ① 等号成立当且仅当 ；(非负性) 根据定义，如果非零向量? , ? 的内积 ，则夹角 ? = 90o ；反之亦然. 返回 上页 下页 3. 向量的夹角 定义 3 规定 n 维向量 ? 和 ? 的夹角为 定理 2 非零向量? , ? 正交(或垂直)的充要条件是 说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也可以说零向量与任何向量正交. 因此 返回 上页 下页 对于齐次线性方程组 Am?n x=O，即 Ax=O 的每个解向量都和矩阵 A 的每个行向量正交. 因此，Ax=O 的解集(即解空间)就是与 A 的行向量都正交的全部向量的集合. 这是Ax=O 的解空间的一个基本性质. 返回 上页 下页 例 2 已知 R3 中的两个向量 正交， 求一个非零向量 ?3，使得?1, ?2, ?3 两两正交. 分析 已知?1, ?2 相互正交，故只需求出与?1, ?2 都 正交的一个向量. 以 作为行向量构成矩阵 ， 则 Ax=O 的解和 正交 (亦和 ?1, ?2 正交). 返回 上页 下页 令 建立齐次线性方程组 Ax=O， 解方程组(过程略)，可得基础解系 解 于是，和 ?1, ?2 都正交的非零向量 ?3 可表示为 ( k 为非零实数) 即 返回 上页 下页 二、正交向量组、规范正交基 设 是非零正交向量组， 1. 正交向量组 即 (非零) (正交) 一组两两正交且不含零向量的向量组， 称为非零正交向量组. 定理 3 非零正交向量组是线性无关的. 证 返回 上页 下页 设 (*) 对(*) 式两端同时左乘 ，得 由于各向量两两正交，故 其中 ，因此，必有 . 同理，对(*) 式两端同时左乘 ，可得 . 证毕 证明 线性无关，就是要证明上式中的组合系数 必须全为零. 返回 上页 下页 2. 规范正交基 例如， 是 R2 的一个规范正交基. 是正交单位向量组，则称 定义 4 设 是 r 维向量空间 V 的一组基. 如果 是 V 的一个规范正交基. 一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组， 即 设 是向量空间 V 的一组规范正交基， 返回 上页 下页 设 ? 证 ? 则 则向量 ? 在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为 基 坐标向量 返回 上页 下页 3. 施密特(Schimidt)正交化方法 施密特正交