5-1特征值与特征向量.ppt

思考题 思考题解答 * * 中南财经政法大学信息系 第五章 矩阵的特征值 与特征向量 定义5.1 设n阶方阵 （1） 称为A的特征矩阵； （2）称 （5.3） 为A的特征多项式； （3）称A的特征多项式的根，即 的根 为A的特征值； （4）若 是的某个特征值，则称齐次线性方程组 （5.4） 的非零解为A的属于特征值 的特征向量。 称此齐次线性方程组的任意一个基础解系为A的属于 的极大无关特征向量组。 求方阵的特征值与特征向量的方法： 第一步：求出A的特征多项式 ； 第二步：求出代数方程 的n个根，即得A的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内共有n个）； 第三步：对每个特征值 ，求出齐次线性方程 组 的基础解系，即属于 的极大无关特征向量组： ； 第四步：作线性组合 （ 不全为零），它就是A的属于 的全部特征向量。 解 例1 例2 求3阶方阵 的特征值与特 征向量。 解：A的特征多项式为： 故A的特征值为： （二重）。 对于 而言，求解齐次线性方程组 即 得它的一个基础解系： 故A的属于 的所有特征向量为 对于 而言，求解齐次线性方程组 即 得它的一个基础解系： 故A的属于 的所有特征向量为 （ 不全为零） 练习题 求A的特征值与特征向量． 解 得基础解系为： 　性质1　属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 　性质2　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． 特征值和特征向量的性质 性质3 证明：用归纳法证明， 时，一个非零向量必定线性无关，结论成立。 当 时 (5.8) 将（5.8）式两边左乘A 又将（5.8）式两边乘以 ，得： 由归纳假设知 线性无关，故有： 而 ，故只有 ， 再由（5.8）式知： 但 ，从而 ，则 由此 线性无关 据归纳法知结论对任意m都成立 定理5.4　设 是方阵A的m个互异特征值， 是A的属于 的 个线性无关的特征向量（ ），则 必定线性无关。 推论　设方阵A有个m互异特征值 ， A的属于 的极大线性无关特征向量组中含有 个 向量，则： ，且等号成立的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明： 例3 证明 再继续施行上述步骤 次，就得 例4 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则 推广： 例5 设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求下列矩 阵B的特征值： 例6 解： 四、特征值与迹 证明：注意到A的特征多项式为： 易知特征多项式中 与 两项只可能出现在主对角线的乘积项中, 因此 前的系数必为： ； 而特征多项式的常数项为 即有 由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得： 推论 方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值 例7　设A为三阶方阵，且满足： ，求 解：由定义5.1知，若 ， 则A有特征值 ； 同理：