5-1预备知识：向量的内积.ppt

一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 思考题 思考题解答 定义1 内积 说明 　　　1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 内积的运算性质 定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： 解 单位向量 夹角 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 证明 ３ 正交向量组的性质 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. ４ 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 ５ 规范正交基 例如 同理可知 （1）正交化，取 ， ６ 求规范正交基的方法 （2）单位化，取 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 例３ 解 再把它们单位化，取 几　何　解　释 例４ 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取 证明 定义4 定理 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交． 性质 正交变换保持向量的长度不变． 证明 例５ 判别下列矩阵是否为正交阵． 定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换． 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于