5-2概率统计经典讲义.ppt

一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. §2 中心极限定理 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 的分布函数的极限. 可以证明，若满足一定的条件，则上述极限分布是标准正态分布. 考虑 中心极限定理 这就是下面要介绍的 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 二、三个常用的中心极限定理 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的r.v.序列， 且 E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,… 则 定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布r.v.之和近似服从正态分布. 定理2（Liapunov中心极限定理） 设X1,X2, …是相互独立的r.v.序列，且 E(Xi)=μi ，D(Xi)= σi2，i=1,2,… 记 若存在δ 0，使得 则 定理2表明，当n充分大时， 即，无论各个r.v.Xi (i=1,2, …)服从什么分布，只要满足定理2的条件，当n很大时，它们的和就近似地服从正态分布. 定理3 (De Moive－ Laplace定理) 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理3表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布的r.v.Yn近似服从正态分布: N(np,np(1-p)) 证： 因为Yn~b(n,p)，故有： 于是由Levy－Lindberg定理有: Yn=X1+X2+…+Xn 其中Xi ~ b(1,p) (i=1,2, …,n)，且相互独立. 而E(Xi)=p, D(Xi) =p(1-p)(i=1,2, …,n). 设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件.求: (1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率; (2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率. n=100,设Xi是第i件产品的强度. E(Xi)=14, D(Xi)=4, i=1,2, ?,100. 解: 例1 每箱产品的平均强度为 某单位有200部电话分机,每部电话约有5%的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线通话是相互独立的.求该单位总机至少需要安装多少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需要使用外线时可以打通? 解: 例２ 则 Xi ～ b(1, 5%)，且X1,X2 ,? ,X200相互独立. 设该单位总机安装k条外线,则: