5-3平面向量的数量积.ppt

●基础知识 一、基本概念 已知两个 向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的 ，当a与b同向时，θ＝ ；当a与b反向时，θ＝ ，当a与b的夹角是 时，a与b垂直，记作 .数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ.其中 叫向量b在a方向上的投影．a在e上的投影为 ；a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 二、数量和的运算律 1．a·b＝b·a； 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·λb； 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 三、常用结论 1．(a±b)2＝ ； 2．(a＋b)·(a－b)＝ ； 3．a2＋b2＝0? ； 4．||a|－|b|| |a|＋|b|. 四、数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 1．e·a＝a·e＝|a|cosθ； 2．a⊥b? ； 3．当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ .特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ； 4．cosθ＝ ； 5．|a·b|≤|a||b|. 注意：a·b＝0 /?a＝0或b＝0；(a·b)·c≠a·(b·c)． 五、数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ；a2＝ ；|a|＝ ；若a的起点(x1，y1)，终点为(x2，y2)，则|a|＝ ； a⊥b? ； ●易错知识 一、对数量积的定义理解不透彻． 1．有四个式子：①0·a＝0；②0·a＝0；③－＝；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的序号为________． 答案：②③ 3．设a，b，c是非零向量，则(a·b)·c是(　　) A．数量　　　　　　　 B．与a共线的向量 C．与c共线的向量 D．无意义 答案：C 二、应用数量积的运算律失误． 4．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立，其中正确命题的序号有____________． 答案：① 答案：正三角形 ●回归教材 1．下列命题正确的是 (　　) A．单位向量都相等 B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量 C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0 D．若a0与b0是单位向量，则a0·b0＝1 解析：A.单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；B.当b＝0时，a与c可以为任意向量；C.|a＋b|＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D.单位向量还要考虑夹角．故选C. 答案：C 2．判断下列各命题正确的是 (　　) A．若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c B．若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立 C．(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a、b、c都成立 D．对任一向量a，有a2＝|a|2 解析：A.∵a·b＝a·c， ∴|a||b|cosα＝|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b，a与c的夹角)． ∵|a|≠0， ∴|b|cosα＝|c|cosβ. ∵cosα与cosβ不一定相等， ∴|b|与|c|不一定相等． ∴b与c也不一定相等． ∴A不正确． B．若a·b＝a·c，则|a||b|cosα＝|a||c|cosβ(α、β分别为a与b，a与c的夹角)． ∴|a|(|b|cosα－|c|cosβ)＝0. ∴|a|＝0或|b|cosα＝|c|cosβ. 当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能不相等． ∴B不正确． C．∵(a·b)c＝(|a||b|cosα)c，a(b·c)＝a(|b||c|cosθ)(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角)． ∴(a·b)c是与c共线的向量，a(b·c)是与a共线的向量． ∴C不正确，D正确． 答案：D 解析：以上四个等式只有③是正确的．故选D. 答案：D 答案：C 此题型主要涉及数量积的求解，是高考的一个热点，需要清晰常见的计算方法：一是利用定义；二是引入平面直角坐标系，利用坐标运算；三是进行转化，把未知向量转化为已知向量，再进一步求解． (2)如右图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝________. 命题意图：考查向量数量积的概念，以及数量积的运算． 答案：A 总结评述：向量数量积的运算是以向