5-3统计量及其分布.ppt

第三节 统计量及其分布 一、统计量与抽样分布 二、样本均值及其抽样分布 三、样本方差与样本标准差 四、样本矩及其函数 五、次序统计量及其分布 六、样本分位数与样本中位数 七、五数概括与箱线图 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 不同的函数反映总体的不同特征。 1. 统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量. 一、统计量与抽样分布 定义： 例如： 下面介绍常见的统计量及其分布 二、样本均值及其分布 1、定义：设 x1 , x 2……, xn是取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，即： 它反映了 总体均值 的信息 在分组样本的场合，样本均值的近似公式为： 其中k为组数， xi为第i 组的组中值， fi是第i 组的频数。 注: 分组样本的均值是完全样本均值的一个良好近似. 例1 某单位收集到20名青年人的某月娱乐支出费用收据： 则该月20人平均娱乐支出为： 79， 84， 84， 88， 92， 93， 94， 97， 98， 99， 100，101，101，102，102，108，110，113，118，125 若先将数据分组得频数频率分布： 1 （77，87] 82 3 15 2 （ 87，97] 92 5 25 3 （97，107] 102 7 35 4 （107，117] 112 3 15 （117，127] 122 2 10 合计 20 100 组序 分组区间 组中值 频数 频率% （2）、数据观察值与均值的偏差平方和最小. 即对任意常数c有 2、性质 再计算得该月20人平均娱乐支出约为： （1）、把样本中的数据与样本均值的差称为偏差。则样本所有偏差之和为0. 即： 定理 1： 3、样本均值的分布 设 x1, x2, …, xn 是来自某个总体X的样本， 是样本均值 （1）若总体分布为 ，则 的精确分布为 （2）若总体分布未知或不是正态分布，但 则n较大时 的渐近分布为 ,记为 这里渐近分布是指n 较大时的近似分布. n取不同值时样本 均值 的分布 注 : 例2 设 x1 , x 2……, x25是取自均匀分布的总体X~U(0,5)的样本，求样本均值 的渐近分布. 解: 由于EX=5/2, VarX=25/12 三、样本方差与样本标准差 当n不大时，常用 1、定义：设 x1 , x 2……, xn是取自某总体的样本，则它关于样本均值 的平均偏差平方和 称为样本方差，其算术平方根 称为样本标准差。 作为样本方差，称其为无偏样本方差。其算术平方根 也称为样本标准差。 它反映了总体 方差的信息 注 : 1、实际中常用的是无偏样本方差, 这是因为当σ2 已知时 这表明 有系统偏小的误差, 而 无此系统偏差. 今后称 为样本方差, 称 为样本标准差. 在分组样本场合, 样本方差的近似计算公式为: 3、 的计算有三个公式 其中k为组数， xi为第i 组的组中值， fi是第i组的频数。 2、定义中的n是样本容量, 称为偏差平 方和, n-1称为自由度. 即独立的r.v.的个数. 这是由于 在 确定后, n个偏差 中只有n-1个可以自由变动.