5.1向量的内积、长度及正交性.ppt

§1 向量的内积、长度及正交性 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 第5章 相似矩阵及二次型 1.定义1 内积 (Inner product) 2.内积的运算性质 施瓦茨不等式 1.定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： (norm) 解 单位向量 夹角 2. １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． (orthogonal) 证明 ３ 正交向量组的性质 定理1 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. ４ 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 ５ 规范正交基 例如 定义3 同理可知 ６ 求规范正交基的方法 下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ） (2) 单位化 , 取 (1) 正交化 , 取 ， 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 例３ 解 再把它们单位化，取 定义4 思考1 设 A 为正交矩阵，则下列不正确的是（ ） 都是正交矩阵 是正交矩阵 是正交矩阵 是正交矩阵，k为大于0的整数