5.1方阵的特征值与特征向量.ppt

* 第五章 相似矩阵 * 第五章 相似矩阵 §5.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 §5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 §5.3 Jordan标准形介绍 * §5.1 方阵的特征值与特征向量 一、问题的引入 二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质 五、特征向量的性质 一、问题的引入 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域 中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭 代法求解等问题都会用到该理论。 一、问题的引入 引例 种群增长模型 设 x 代表某种群 C 的数量， y 代表某种群 D 的数量， 初态为 一年后的状态为： 即 则第 k 年后的状态为： 问题 如何计算 ？ (工业增长模型) (某国的工业增长水平) (该国的环境污染程度) 一、问题的引入 1. 初步设想 若存在一个可逆矩阵 P，使得 则 进一步有 且这两个向量 必须线性无关 且这两个向量 必须线性无关 2. 简单分析 一、问题的引入 寻找一个可逆矩阵 P，使得 即 记 则 对二阶方阵 A 寻找两个向量 它们被 A 左乘 后正好等于自 己的某个倍数 一、问题的引入 3. 一般性问题的提出 对于方阵 A，求向量 X 和(实)数 l ，使得 比如，对于矩阵 则有 令 从而有 二、基本概念 定义 设 A 为 n 阶方阵， 如果存在数 l 和 n 维非零向量 X 则称数 l 为方阵 A 的特征值， 非零 使得 A X= l X， 向量 X 称为 A 的属于特征值 l 的特征向量。 比如，若 X 是矩阵 A 的属于特征值 l 0 的特征向量， (2) 属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。 则 也是 A 的属于特征值 l 0 的特征向量。 1. 特征值与特征向量 注意 (1) 特征值 l 可以为零； 由 有 该方程组有非零解的充要条件是 分析 二、基本概念 1. 特征值与特征向量 2. 特征多项式 记 定义 则称 为方阵 A 的特征多项式； 称 为方阵 A 的特征方程。 特征多项式 是 l 的 n 次多项式， 特征多项式“具体”形式 其中， 称为 A 的迹， 即 记为 由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的 个数为特征方程的次数， 步骤 (1) 求解特征方程 得到特征值。 值(重根按重数计算)。 (2) 设 l = l i 是方阵 A 的一个特征值， 则 X 就是 A 的 求解齐次线性方 得到非零解 程组 对应于特征值 l i 的特征向量。 三、特征值与特征向量的求解方法 因此 n 阶方阵有 n 个特征 例 求矩阵 的特征值与特征向量。 解 (1) A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 (单根) (单根) (2) 当 时， 求解得基础解系为 故 A 的属于特征值的 所有特征向量为 由 有 (3) 当 时， 求解得基础解系为 故 A 的属于特征值的 所有特征向量为 由 有 解 (1) A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 (单根) (重根) (2) 当 时， 求解得基础解系为 故 A 的属于特征值的 所有特征向量为 由 有 (3) 当 时， 求解得基础解系为 由 有 故 A 的对应于特征值 的所有特征向量为 例 求矩阵 的特征值与特征向量。 解 (1) A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 (单根) (重根) 求解得基础解系为 故 A 的对应于特征值 的所有特征向量为 (2) 当 时， 由 有 (3) 当 时， 由 有 求解得基础解系为 故 A 的对应于特征值 的所有特征向量为 解 设 l 是 A 的特征值，对应的特征向量为