5.3平面线性系统的奇点及相图.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 §5.3平面线性系统的奇点及相图 5.3.1 几个线性系统的计算机相图 5.3.2 平面线性系统的初始奇点 本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统 (5.3.1) 其中 ， 在上 连续且满足解的 存在唯一性条件。 为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态， 必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如 上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线， 不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系 统的某一解 ， 满足： 则点 一定是系统的奇点。 一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较 复杂的。又因为对于系统的任何奇点 均 可用变换 (5.3.2) 把（5.3.1）变为： (5.3.3) 且(5.3.3)的奇点 即对应于(5.3.1)的 移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。 奇点 。又因为变换(5.3.2)只是一个平 因此，我们可假设 是(5.3.1)的奇点，且 性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足： (5.3.4) 如果 均是 的线形函 数。我们称之为线性系统，即 只须讨论(5.3.1)的奇点 及其邻域的轨线 (5.3.5) 5.3.1 几个线性系统的计算机相图 一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻 域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地 画出其图形，给我们一个直观的形象。 Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软 件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定 初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。 例5.3.1 用Maple描出系统 (5.3.6) 在奇点附近轨线的相图。 解 用Maple解得相图5.7。 5.3.2 平面线性系统的初等奇点 考虑到一般的平面线性系统 （5.3.5） 其中系数矩阵 为常数矩阵 。 如果 ，则 是系统 这时的奇点称为系统的高阶奇点。 下边讨论系统（5.3.5）的初等奇点。 根据线性代数的理论，必定存在非奇异 实矩阵 ，使得 成为 的若当 的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点. 而 则称 非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线， （Jordan）标准型，且若当标准型的形式由 的特征根的不同情况而具有以下几种形式： 因而对系统（5.3.5）作变换 即 ，其中 是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (5.3.5)变为: (5.3.10) 从 而变换的几种形式就能容易的得出 平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于 原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须 用变换 返回到就行了。 由于变换 不改变奇点的位置与类 型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出 讨论。 记 设 的特征方程为： 则特征方程为　　　　　　 ，特征根为 (5.3.11) 由特征根的不同情况分为四种情况来讨论: 1. 特征根为不相等的同号实根 此时对应的标准型为 (5.3.12) 容易求出其通解为 （5.3.13） 其中 是任意常数， 对应于零解， 对应的 轴正负半轴都是轨线； 对应的 轴正负半轴是轨线； 当 时候，再分两种情况讨论： （1）， 同号且均为负数 这时消去 得 （5.3.14） 所以轨线均为以 顶点的抛物线，且 当 时由 我们可知： 当 时 即切线切 轴趋于 点。 当 时 即切线切 轴趋于 点。 且由于(5.3.14)知此时原点 是渐近稳定的， 所以系统在原点及附近的相图如下图所示： 图5.11(a) 图5.11(b) 我们把这样的奇点称为稳定结点。 （2）， 同号均为正数 这时关于(1)的讨论在此适用只需将 改为