5.3统计量及其分布.ppt

5.3 统计量及其分布 5.3.1 统计量及其分布 定义5.3.1 统计量:设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参数,则称T为统计量. 抽样分布: 统计量的分布成为抽样分布. 注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般是依赖与未知参数的. 5.3.2 样本均值及其抽样分布 定义5.3.2 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算术平均值称为样本均值，一般用 表示,即 在分组样本场合,样本均值的近似公式为 其中k为组数,xi为第i组的组中值, fi为第组的频数. 例5.3.1 某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支出费用数据: 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为 将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布: 组序分组区间组中值频数频率 定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则样本所有偏差之和为0,即 证明: 为任意给定常数c 定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，为样本均值 1) 若总体分布为 ，则 2) 若总体分布未知或者不是正态分布,但 则n较大时 证明: 1) 证明见p210,习题13.（提示：用特征函数的性质证） 2)由中心极限定理, 例5.3.3 求样本容量为30,总体分布如下的样本均值的渐进分布: 1)总体分布为均匀分布U(1,5); 2)总体分布密度函数为(倒三角分布) 3)总体分布为指数分布Exp(1)； 解: 1) 均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样本均值的渐进分布为 5.3.3 样本方差和 样本标准差 分组样本场合，样本方差的近似计算公式为 5.3.4 样本矩及其函数 5.3.5 次序统计量及其分布 一、次序统计量的定义及性质 二、次序统计量的抽样分布 练习：请写出最小次序统计量和最大次序统计量的密度函数.（p157） 5.3.7 五数概括与箱线图 所谓五数概括就是用 5.3.7 五数概括与箱线图 一、单批数据箱线图 二、多批数据箱线图 1) 单批数据箱线图 用箱线图初步考察测验成绩的分布 sas程序如下: 作业题： 必做：11、14、18、23 选做： 19、 24 说明: 反映了总体分布密度曲线的对称性信息. 1、 是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度. 2、 说明数据是对称的. 称为样本偏度. 说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的. 说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的. 定义5.3.6 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量 称为样本峰度. 例5.3.6 设总体X的分布为仅取0,1.2的离散均匀分布,分布列为 1/3 1/3 1/3 p 2 1 0 x 现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 将它们列在下表左侧，其右侧是相应的次序统计量观测值。 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 0 2 2 1 1 2 2 2 1 0 2 1 0 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 2 0 2 1 0 0 0 0 1 2 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 例5.3.7 中抽得一个容量为5的样本,试计算 现从该总体 设总体密度函数为 解：由总体密度函数求出总体分布函数为: 例5.3.8 这正是 的分布. 设总体分布为 例5.3.9 设总体分布为 5.3.6 样本中位数与 样本分位数 这五个数来大致描述一批数据的轮廓 定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如 的函数中, 最小,其中 为任意 给定常数. 2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本均值的渐进分布为 3) 指数分布Exp(1)的均值和方差都为1, 所以样本均值的渐进分布为 称为样本方差. 称为样本标准差. 也称为样本方差(也称无偏方差) 也称为样本标准差. . 不大时常用 在 定义5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，则它 的平