5.【苏教版高考数学复习导航(第1轮)理】空间位置关系的向量解法.ppt

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3, BC=4, AB=5，AA1=4，点D是AB的中点. 求证： (1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面CDB1. 证明 在△ABC中，AC=3, BC=4, AB=5， 故由勾股定理知，∠ACB=90°. 所以CA、CB、CC1两两垂直. 如图，以点C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则C(0 , 0 , 0)、A(3 , 0 , 0)、C1(0 , 0 , 4)、 B(0 , 4 , 0)、B1(0 , 4 , 4)、D( , 2 , 0). (1)因为AC=(-3 , 0 , 0) , BC1=(0 , -4 , 4), 所以AC · BC1=0，所以AC⊥BC1. (2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0 , 2 , 2). 因为DE=( , 0 , 2) , AC1=(-3 , 0 , 4), 所以DE= AC1，所以DE∥AC1. 又因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 所以AC1∥平面CDB1. 利用空间向量的坐标运算可以解决线线垂直、线面平行与垂直问题，关键是合理建立坐标系，写出点的坐标和需要向量的坐标.本题主要考查线线垂直、线面平行的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量解决几何问题的能力. 如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别为PC、AB的中点. 用向量的运算方法证明: (1)MN∥平面PAD； (2)MN⊥平面PCD. 证明 建立如图所示坐标系，设AB=a , PA=AD=b , 则B(a , 0 , 0) , C(a , b , 0) , D(0 , b ,0) , P(0 , 0 , b). 取PD的中点H，连结AH, (1)因为NM=AH，且MN 平面PAD，AH平面PAD，所以MN∥平面PAD. (2)因为PD=(0 , b , -b)，DC=(a , 0 , 0), 所以NM · PD= , NM · DC=0, 所以NM⊥PD，NM⊥DC. 又因为PD∩DC=D, 所以MN⊥平面PDC. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试问在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由. 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 因为正方体的棱长为1， 所以D1M=(1 , 1 , λ-1) , EB1=(0 , , 1), FB1=( , 0 , 1). 因为D1M⊥平面EFB1的充要条件为“D1M⊥FB1 且 D1M⊥EB1”， 所以D1M · EB1=(1 , 1 ,λ-1) · (0 , , 1) = +λ-1=0, 且D1M · FB1=(1 , 1 , λ-1) · ( , 0 , 1) = +λ-1=0， 解得λ= , 且 ∈［0 , 1］. 因此，存在点M，使得D1M⊥平面EFB1，且M是BB1的中点. 从本例可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”“作”“证”，只需通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量解题的优越性. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，在对角线A1C上是否存在这样的一点E，使BE⊥A1D？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由. 以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系. 又A1(0 , 0 , a), 得E(aλ , aλ , a - aλ). 从而BE=(aλ- a , aλ , a -aλ), A1D=(0 , a , -a).