5.概率论课件-煤炭工业出版.ppt

第一节 大数定律  定义1 一.切比雪夫Chebyshev不等式 二.几个常见的大数定律 定理2（辛钦定律） 定理3（伯努利大数定律） 例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？ 高尔顿钉板 定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace 例2 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报 例3 有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实 例4 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 例5 利用 ⑴ 契比雪夫不等式 * 第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 答复 大数 定律 中心极 限定理 一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律 依概率收敛于a ，记为 设随机变量序列 有: 则称 ，如果存 在常数 a ，使得对于任意 或 不等式 成立， 则称此式为切比雪夫不等式。 存在，则对任意 证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 设随机变量X 的数学期望 则 注：Chebyshev不等式对随机变量在以 的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界 为中心 可见D(X) 越小，事件 的概率越接近1。 X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。 例如：对未知分布X，取 例1 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少? 解 设X 为同时开的灯数。 由二项分布 用切比雪夫不等式 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 解 设每毫升白细胞数为X 依题意，EX =7300,DX =7002 所求为 由切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 . 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式 例2 即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。 定理1（切比雪夫大数定律） 则 即对任意的ε 0， 设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列， 它们都有相同的数学期望 证明 由切比雪夫不等式得： 所以 定理的意义 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数. 具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望. 算术 均值 数学 期望 近似代替 可被 且具有相同的数学期望 辛钦 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布， 则 证明略 辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。 P是事件A发生的概率，则对任给的ε 0，有 或 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， 即 证明 引入随机变量 试验中A发生， 试验中A不发生， 显然 且 又由于各次试验相互独立，所以 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 频率 与 p 有较大偏差 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 伯努利(Bernoulli)大数定律的意义 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指： 解 在相同的条件下测量n 次，其结果为 ，它们可看成是相互独立、相同分布的 随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律 可知，当 时，有 因此我们可取 n 次测量值 的算术平均值 作为a 得近似值，即 ,当n充分大时误差很小。 §5.2 §5.2 中心极限定理 定 理 一 林德伯格-列维中心极限定理 [ 独立同分布的中心极限定理 ] 定 理 二 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ] (Lindberg-levi) (De Moivre-Laplace) 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 独立同一分布, 且有期望和方差： 则对于任意实数 x , 定理 1 注 则 Y n 为 的标准化随机变量. 即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 记 近似 近似服从 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果. 对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明. 0 3 — 钉子层数 根据以往经验，