562平面向量的数量积及运算律.ppt

§5.6.2 平面向量的数量积及运算律 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 Ⅰ.复习回顾 1.向量数量积的定义， 2.数量积的5个重要性质，三个运算律 课后作业： * * 【教育类精品资料】 庆阳六中 李树信 §5.6.2 平面向量的数量积及运算律 平面向量数量积（内积）的定义 代数性质（两个向量的数量积的性质） （分配律）a(b+c)=ab+ac （结合律）(ab)c=a(bc) （交换律） ab=ba 向量数量积运算律 实数的运算律 √ × √ √ 三个运算律 ［例1］已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（－1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0； ③当a与b的夹角是60°时，有 a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×cos60°＝9 注意：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能. ［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 由已知（a＋3b）⊥(7a－5b) （a＋3b）·(7a－5b)＝0 7a２＋16a·b－15b２＝0 …… ① 解： 又（a－4b）⊥(7a－２b) （a－4b）·（7a－2b）＝0 7a2－30a·b+8b２＝0 ……② ①－②得 46a·b＝23b２ 即有a·b＝ b２＝ ｜b｜２ ［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 代入①可得： ∴若记a与b的夹角为θ cosθ＝ 又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60° 所以ａ与ｂ的夹角为60° 例3 ∴a＋b＝－（c＋d），∴(a＋b)２＝（c＋d）２ ∵a＋b＋c＋d＝0， 即｜a｜２＋2a·b＋｜b｜２＝｜c｜２＋2c·d＋｜d｜２ 由于a·b＝c·d， ∴｜a｜２＋｜b｜２＝｜c｜２＋｜d｜２ ① 同理有｜a｜２＋｜d｜２＝｜c｜２＋｜b｜２ ② 由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜ 即四边形ABCD两组对边分别相等. 解： ∴四边形ABCD是平行四边形 例3 又由a·b＝b·c，有b（a－c）＝0， 而由平行四边形ABCD可得a＝－c, 代入上式得b·(2a)＝0 即a·b＝0， ∴a⊥b也即AB⊥BC. 综上所述，四边形ABCD是矩形. 小结： 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的 运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断， 能利用数量积的5个重要性质解决相关问题. 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平 方和(差)公式在解题中的应用较为广泛. 即 (a＋b)２＝a２＋2a·b＋b２， （a－b）２＝a２－2a·b＋b２， 这两个公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２这一类似 于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用