5[1].1方阵的特征值与特征向量.ppt

第5.1节 矩阵的特征值 　 与特征向量 * 主要内容: 一、方阵的特征值与特征向量 二、特征向量的性质 三、小结 思考与练习 问题的引入: 从前面的学习我们了解到,一个矩阵乘以一个非零向量,相当于将此向量做一些平移、旋转、伸缩、推移之后的结果。因此，我们想知道是否能找到一个向量，经过相同的平移、旋转、伸缩、推移之后，仍保持原来的方向？在本章中我们将寻找此种向量，并探讨其所具有的性质。 由一个矩阵A乘以一个向量 后，所得到的向量仍保持原来的方向，表示存在一个数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　使得 　　。对于此特殊的向量和这个数，我们给出如下之定义。 一. 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 是 阶方阵， 若数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 是方阵 的一个特征值， 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 是方阵 (2) 特征向量 是非零列向量 (Eigenvectors and Eigenvalues) 2. 特征向量的几何意义： 特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线 上 ,这时或者方向不变 或者方向相反 , 至于 时，特征向量就被线性变换变成 0. x 注: (1)特征值与特征向量在物理、力学、工程技术中有着广泛的应用。如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值问题;方阵的对角化及解微分方程组的问题等。这些问题中特征值的计算往往意义重大。 (2)如果 是一个不可逆的方阵,则线性方程组 有非零解, 即 故不可逆方阵必有零特征值 . (3)一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算 由特征值和特征向量的关系 可以化简这些运算. 3. 特征值与特征向量的求法 或 已知 所以齐次线性方程组有非零解 或 定义2： 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。 设 阶方阵 的 个特征值为 则 称为矩阵A的迹。（主对角元素之和） 定理1： 另一方面, 由多项式相等,系数相等,即(1)得证. 求A的特征值与特征向量的步骤: 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解。 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 自由未知量: 令 得基础解系: 常数)是对应于 的全部特征向量。 齐次线性方程组为 当 时， 常数)是对应于 的全部特征向量。 得基础解系 证明: 因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式 唯一决定. 例2: 而 若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则 的特征值是 是任意常数) 的特征值是 是正整数) 若 可逆，则 的特征值是 的特征值是 且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。 例3： 练习题1: 已知三阶矩阵A的三个特征值为1，2，3,则A的 行列式等于____, A-1的三个特征值为_______,A2+2 A+3E 的三个特征值_______，| +2 A+3E |=___________. 练习题2: 已知 ?=2 是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵 有一个特征值为____ . 练习题3: P143 判断下列命题是否正确． (1) 如果 向量构成的集合 是方阵 的特征值，则 对应的特征 (2) 方阵 (错) 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量; (对) (3) 由于方阵 和 有一样的特征值, 故他们也有一样的 特征向量. (错) (4) 如果 阶方阵 的 个特征值全为0, 则 一定是 零矩阵. (错)