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两个向量的数量积（习题课） 授课教师：徐安祥 授课班级：高二（４、１２ 班） 一、复习提问：1、空间两个向量 和 的数量积如何表示？其结果是向量还是实数？ 2、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？ 二、练习（线线垂直问题）1、如图，三角形ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证：AF BD 三、例题讲解： 1、利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而也可以证明线面垂直问题。 例1、正方体 中，E、F分别是 的中点。求证： * * * * * * * * * * 小结 空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质 空间向量数量积的运用 空间向量的夹角 练习P35 A B C O 证明: ３．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连结AO，求证AO⊥CD′． D’ B C B’ C’ A D o 解: 分析：要证明线面垂直，只需证明直线和已知平面内的两条相交直线垂直即可。本题可考虑证明 2、应用 可证明两直线垂直，利用 可求线段的长度。我们还可以利用 求两条异面直线所成的角。 例2、空间四边形ABCD中，AB=2，BD=4，BC=3，CD=2， 求AB与CD所成角的余弦值。 分析：（1）已知AB分别与BD所成的角，故可考虑把AB与CD所成的角的问题转化为AB分别与BC和BD所成角的问题。 （2） 解: A D C B b a b A B C D D E 例３、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD ??交?于D,?DBD’=30?.如果AB＝a，AC＝BD＝b， （1）求C、D间的距离; （2）求异面直线DC,BD所成的角． 运用二：求线段长度常把线段表示成向量形式，然后通过向量运算求解. 运用三：常运用向量数量积的变形公式求异面直线所成的角. A D C B 解: 2、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？